Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Satz von Radon-Nikodym (Radon-Nikodym-Ableitung) für äquivalente Maße
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Satz von Radon-Nikodym (Radon-Nikodym-Ableitung) für äquivalente Maße
luxdav
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.05.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-07


Hallo,

ich habe letztes Semester ein vertiefendes Modul in Wahrscheinlichkeitstheorie gehört. Dort haben wir den Satz von Radon-Nikodym behandelt.

Ich weiß, dass die Radon-Nikodym-Ableitung von der Normalverteilung bzgl. dem Lebesgue-Maßes die Dichte der Normalverteilung ist.


Also mathematisch. Sei \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). Dann ist \(f\) die Radon-Nikodym-Ableitung.

\[f=\frac{\mathrm{d}(\mathbb{P}\circ X^{-1})}{\mathrm{d}\lambda}\text{,}\] wobei \(\lambda\) das Lebesgue-Maß auf \(\mathbb{R}\) ist.

Jetzt ist in diesem Fall \(f\) die Dichte der eindim. Normalverteilung auf \(\mathbb{R}\), eine Funktion von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\).
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})\]

Jetzt höre ich aber das konsekutive Modul und wir behandeln dort gerade die Girsanov-Transformation, äquivalente Martingalmaße, (lokale Äquivalenz).


\[X = \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}}\]
Und aufeinmal sind die Dichten stochastische Prozesse und keine klassischen reellen Wahrscheinlichkeitsdichten.

Kann mir das vielleicht einer von euch etwas genauer erleuchten?


Auf Wikipedia wird auch der Satz angerissen:

Sind \(\mathbb{P}\) und \(\mathbb{Q}\) äquivalent, so ex. pos. ZV \(X = \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}}\).

Wir haben einen ähnlichen Satz bzgl Martingalen gehabt.
Wird diese ZV bzgl. des Lebesgue-Maß quasi eine deterministische ZV? Also, falls \(\mathbb{Q}=\lambda\) gilt, ist \(X\) deterministisch.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1343
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-07


2020-07-07 15:16 - luxdav im Themenstart schreibt:
Wird diese ZV bzgl. des Lebesgue-Maß quasi eine deterministische ZV? Also, falls \(\mathbb{Q}=\lambda\) gilt, ist \(X\) deterministisch.

Nein, das würde doch bedeuten, dass die Dichte konstant ist.

Du musst dir klarmachen, dass die Radon-Nikodym-Ableitung für zwei Maße auf $\Omega$ eine Funktion $\Omega\to\mathbb R$ ist. Und diese Funktion kannst du entweder als Dichte oder als Zufallsvariable betrachten.

-zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3326
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-07


Huhu luxdav und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Wenn Du, wie im Falle der Girsanov-Transformation, zwei äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße betrachtest, also Abbildungen $P,Q$ von einem messbaren Raum $(\Omega, \mathcal{F})$ in den messbaren Raum $([0,1], \mathcal{B})$, so ist die (messbare) Radon-Nikodym-Ableitung $\frac{dP}{dQ} : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ganz natürlich eine Zufallsvariable, nämlich eine messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen messbaren Raum...

Das ist also lediglich die wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung einer masstheoretischen Tatsache. (Die Aussage des Wikiartikels, dass dann auch $E_Q \frac{dP}{dQ} = 1$ gilt, ist dagegen nicht ganz trivial).

Im Falle der Girsanov-Transformation kann die Radon-Nikodym-Dichte nun explizit über ein Martingal angegeben werden.
Eine etwas spezielle Formulierung der Girsanov-Transformation (die aber alles konzeptionell wesentliche beinhaltet) ist die Folgende:

Sei $dX = a_tdt + b_tdB_t$ (für $t\leq T$) ein Ito-Prozess und es gebe es Prozesse $u,v$ mit $b_tu_t = v_t-b_t$, welche (z.B.) die Novikov-Bedingung $E \mathrm{exp} \left ( \frac12 \int_0^T u^2_s ds \right ) < \infty$ erfüllen. Man betrachtet dann das* Martingal $M_t=\mathrm{exp} \left ( - \int_0^t u_sdB_s - \frac12 \int_0^t u^2_sds \right )$ und stellt fest, dass $dQ = M_TdP$ ein äquivalentes Maß ist (bzw. $M_T$ dann die Radon-Nikodym-Ableitung $\frac{dQ}{dP}$). Darüber hinaus gilt auch $dX_t = v_tdt + b_tdW_t$, wobei $W_t = \int_0^t u_sds + B_t$ eine BM bzgl. $Q$ ist (deswegen ist die Girsanov-Transformation bedeutsam).

Beachte hier, den Index $T$! Hier steht also nicht, dass die Ableitung einen Prozess darstellt, sondern lediglich eine Zufallsvariable (nämlich den Wert von $M$ zur "Zeit" $T$).

Hoffentlich hilft das ein wenig die mögliche Konfusion zu verringern!

lg, AK.


*) unter den gegebenen Voraussetzungen ist dies ein Martingal!



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luxdav
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.05.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Vielen Dank,

ich denke, dass die Ursache für die Unklarheiten daran liegt, dass ich noch keine pure Maßtheorie gehört habe und wir den Satz von Radon-Nikodym nur sehr stiefmütterlich behandelt haben. Außerdem fand ich die Literatur zu Radon-Nikodym sehr verwirrend, denn da habe ich verschiedene Versionen gefunden, die alle im maßtheoretischen Kontext lagen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luxdav hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.
luxdav wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]