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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Lösung einer Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Lösung einer Differentialgleichung
Waldquelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12


Liebe Community,

sei die Wahrscheinlichkeit, dass sich $n$ aus $N$ Partikel im Zustand $o$ befinden durch

$P_o(n,t)$ gegeben. Wobei wir die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Partikels nicht beachten wollen - uns interessiert nur die Mengenbetrachtung, also kann die durch die Binomialverteilung beschrieben werden.

angenommen ich blicke ein klein wenig $t+\delta t$ in die Zukunft dann können für $n$ Partikel im Zustand $o$ folgende FÄlle eintreten:
1) es sind $n-1$ Partikel in $o$ und ein Partikel wechselt vom Zustand $c$ in den Zustand $o$ (o steht für offen und c für geschlossen). Diese Wahrscheinlichkeit wäre $x(N-n+1)P_o (n-1,t)\delta t$ - insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten für $n$ Partikel im Zustand $o$ zur Zeit $t + \delta t$
$$ P_o(n,t+\delta t) =  P_o(n,t) + x (N-n+1)P_o(n-1,t)\delta t  + y (n+1)P_o(n+1,t)\delta t - x(N-n)P_o(n-1,t) \delta t - xnP_o(n,t) \delta t
$$ wenn man nun $\delta t \to 0$ schickt, dann erhält man folgende DGL

$\frac{d}{dt}P_o(n,t) = P_o(n,t) + x (N-n+1)P_o(n-1,t)  + y (n+1)P_o(n+1,t) - x(N-n)P_o(n-1,t)  - xnP_o(n,t) $

Ich soll zeigen, dass die Binomialverteilung $P(n) = \binom{N}{n}p^n (1-p)^{N-n}$ (mit p = x/(x+y))

 eine zeitunabhängige Version dieser DGL als Equilibrium löst ...

Aber ist eine zeitunabhängige Version dieser DGL nicht einfach nur eine normale Gleichung? Und: kann ich über eine Equilibriumslösung denn Aussagen über die allgemeine Lösbarkeit treffen?

Danke im Voraus und LG

Waldquelle



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