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Differentialgleichungen » Gewöhnliche DGL » Allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung
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Universität/Hochschule J Allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung
Primz94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12


Hallo!

Ich beschäftige mich gerade im Selbststudium mit dem Lösen von einfachen Differentialgleichungen. In einem Buch und auf manchen Seiten im Internet habe ich gefunden, dass man mithilfe der Fundamentallösung des zugehörigen homogenen Problems das inhomogene Problem lösen kann.

Genauer habe ich diese Gleichung gefunden: Sei

\[x'(t)=A(t)x(t)+f(t)\]
eine Differentialgleichung mit Anfangswertbedingung \(x(0)=x_0\) und \(\Phi(t)\) ein Fundamentalsystem, dann löst

\[x(t)=\Phi(t)\left(\Phi\left(t_{0}\right)^{-1} x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} \Phi(s)^{-1} f(s) d s\right)\]
das inhomogene Problem. Leider verstehe ich nicht, wie man darauf kommt, denn wenn ich diese Lösung einsetze, bleibt in der Ableitung für mich nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung der Term \(\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}f({t_0})\) übrig, und ich sehe auch nach einigem Nachdenken noch nicht ein, warum der sich anscheinend wegkürzt... kann mir da jemand vielleicht helfen?

Liebe Grüße,
Primz




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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-12


Hallo Primz,
wieso soll in der Ableitung des Integrals die konstante untere Integrationsgrenze $t_0$ statt der oberen Integrationsgrenze $t$ als Argument vorkommen?

Servus,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Gewöhnliche DGL' von rlk]



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Primz94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


Hi Roland und danke für deine Antwort :).

Müsste nicht einfach beides vorkommen? also wenn ich das Integral rechts ableite, erhalte ich dann nicht beide Integralgrenzen:

\[\Phi(t)f(t)-\Phi(t_0)f(t_0)\]
Wenn ja, dann verstehe ich nicht, was mit dem rechten Term passiert ist. Er scheint sich ja wegzukürzen, oder?

Denn wir wollen ja, dass wenn wir für \(x(t)\) den Term oben einsetzen, das herauskommt:

\[\begin{aligned} x^{\prime}(t) &=A(t) \Phi(t)\left(\Phi\left(t_{0}\right)^{-1} x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} \Phi(s)^{-1} f(s) \mathrm{d} s\right)+\Phi(t)\left(\Phi(t)^{-1} f(t)\right) \\ &=A(t) x(t)+f(t) \end{aligned}\]



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-12


Hallo Primz94,
wenn wir die Stammfunktion des Integranden mit $F(t)$ bezeichnen, dann hat das Integral den Wert
$$\int_{t_0}^t \Phi(s)^{-1} f(s)\,\dd s=F(t)-F(t_0)$$ Was erhältst Du, wenn Du diese Gleichung nach $t$ ableitest?

Servus,
Roland



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Primz94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


Ah, ok, jetzt hab ich meinen Denkfehler gefunden :). Vielen Dank!



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