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Universität/Hochschule J Identische Verteilung von Zufallsvariablen
Leucos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-13 14:02


Hallo, ich habe folgende Aufgabe gesehen, finde aber nirgends eine Lösung dazu.

Seien X und Y unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen auf einem endlichen Grundraum. Haben dann X+Y und 2X die gleiche Verteilung?

Wäre schön, wenn mir jemand damit helfen könnte.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13 14:08


Betrachte doch mal als einfaches Beispiel den Fall $P(X=0)=P(X=1)=\frac12$.

--zippy



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Leucos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 14:45


Ich habe mir das ganze mal als einfachen Würfelwurf vorgestellt, wobei X einer geraden Zahl eine 0 und einer ungeraden Zahl eine 1 zuordnet.
Y bildet eine gerade Zahl auf 1 und eine ungerade Zahl auf 0 ab.
 
Wenn X und Y identisch verteilt sind, gilt ja wegen P(X=0) = P(X=1) = 1/2 auch: P(Y=0) = P(Y=1) = 1/2.

Damit gilt für w aus unserem Grundraum:
X+Y(w) = X(w) + Y(w) = 0+1 oder 1+0 = 1
Das heißt (X+Y)nimmt immer den Wert 1 an und somit gilt P((X+Y)=1) = 1

2X(w)= 2* X(w) = 2*0 (falls gerade)
        = 2*1 = 2 (falls ungerade)

Also besitzt 2X die Verteilung P(2X=0) = P(2X=2) = 1/2

Ist das richtig so? Oder habe ich irgendetwas grundsätzliches über Zufallsvariablen nicht verstanden..
(Ich kenne mich mit LaTeX nicht aus, entschuldigt also die schlechte Formatierung)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-13 14:50

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Leucos und willkommen hier im Forum!

Die Verteilung von \(2X\) hast du richtig bestimmt. Bei der Summe \(X+Y\) hast du jetzt aber die ZVen so gewählt, dass sie stochastisch abhängig sind. Das Gegenteil ist ja gefordert.

Um bei deinem Beispiel zu bleiben, muss ja die Summe \(Z=X+Y\) Werte aus \(\lbrace 0,1,2 \rbrace\) annehmen können.

Und für diese Werte ist die Verteilung gesucht. Das sollte die eigentliche Frage ja dann schon beantworten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Leucos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 15:08


Oke, wenn Z also auch den Wert 1 annehmen kann, 2X allerdings nicht, kann die Verteilung ja auch nicht gleich sein.

Hast du vielleicht ein besseres Beispiel für zwei (dann hoffentlich unabhängige) Variablen parat?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-13 15:16


2020-07-13 15:08 - Leucos in Beitrag No. 4 schreibt:
Hast du vielleicht ein besseres Beispiel für zwei (dann hoffentlich unabhängige) Variablen parat?

Wirf zwei unterscheidbare Münzen gleichzeitig. Die erste Münze sagt, ob $X$ den Wert $0$ oder $1$ annimmt, die zweite sagt das für $Y$.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-13 15:19


Hallo,

im Prinzip taugt jedes Zufallsexperiment mit endlich vielen Ausgängen. Aber im Sinn von Ockhams Rasiermesser ist das Beispiel von zippy doch ideal.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Leucos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 15:34


Danke euch beiden! 👍



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