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Mathematik » Geometrie » Beweis Menge ist Ellipse
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Universität/Hochschule Beweis Menge ist Ellipse
kingstone555
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-13


Seien \(P=(−1,0)^t\) und \(Q=(1,0)^t\) im R^2 gegeben und sei a >2.
Zeigen Sie: Die Menge {X ∈ R^2| ||X−P||+||X−Q||=a} ist  eine  Ellipse,  deren  Mittelpunkt \( (0,0)^t ∈ R^2\) ist.  Genauer  gesagt  müssen  Sie  also reelle  Zahlen b1,b2 >0  finden,  sodass  obige  Menge  die  Lösungsmenge  der  Gleichung \((\frac{x}{b1})^2+(\frac{y}{b2})^2= 1\) mit den Variablen x,y ∈R ist.
Hinweis:Quadrieren  Sie  die  Gleichung||X−P||+||X−Q||=a,  stellen  Sie  um und quadrieren Sie noch einmal. Sie werden begründen müssen, wieso das zweite Quadrieren eine Äquivalenzumformung ist.
Ich bräuchte Hilfe diese Aufgabe mathematisch korrekt zu lösen



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4390
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Setze vielleicht doch einfach zu Beginn \(X:=\bpm x \\ y \epm\) und für P und Q die gegebenen Vektoren (ganz nebenbei gleich zu Beginn: das sind die Brennpunkte der Ellipse).

Dann schreibe die Ausgangsgleichung in Vektorschreibweise aus. Damit hättest du ein vernünftiges Setup, um mit der eigentlichen Aufgabe zu starten.

Die Reihenfolge der Vorgehensweisen in dem Tipp halte ich für etwas ungünstig. Ich würde wohl zuerst eine der beiden Normen auf die andere Seite bringen und dann quadrieren. Mein Gefühl sagt mir, dass die geforderte Begründung vor dem zweiten Quadrieren so leichter fällt. Es kann aber sein, dass mich da die Erinnerung trügt, ich habe es jetzt ehrlicherweise noch nicht selbst durchgerechnet.

Aber vielleicht hilft dir die angesprochene Vorgehensweise ja dabei, selbst einen Versuch zu starten, den du dann hier präsentieren könntest?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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