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Lineare Algebra » Lineare Unabhängigkeit » Satz über lineare Unabhängigkeit
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Universität/Hochschule J Satz über lineare Unabhängigkeit
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-13 23:52


Hallo zusammen!

Ich verstehe den Beweis zu folgendem Satz nicht:

Eine Familie $S$ von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes $a\in\langle S\rangle$ nur auf genau eine Art und Weise linear aus den Vektoren aus $S$ kombiniert werden kann.

Beweis:

(i) Insbesondere ist $0\in\langle S\rangle$. Der Nullvektor lässt sich als Linearkombination mit Koeffizienten $0$ schreiben. Da dies nach Voraussetzung die einzige Möglichkeit ist, sind die Vektoren in $S$ linear unabhängig.

(ii) Sei Vektor auf zwei verschiedene Arten dargestellt, gelte also \[\sum\limits_{i=1}^n\lambda^ia_i =\sum\limits_{i=1}^n\mu^ia_i\] mit $(\lambda^1,\ldots,\lambda^n)\neq(\mu^1,\ldots,\mu^n)$. Dann ist \[\sum\limits_{i=1}^n\left(\lambda^i-\mu^i\right)a_i=0\] eine nichttriviale Linearkombination der Null. Die Vektoren sind also linear abhängig.

- - - - - - - - - -


Zu (i) Hier wird eine Implikation gezeigt:

Jedes $a\in\langle S\rangle$ lässt sich nur auf genau eine Art und Weise linear aus den Vektoren aus $S$ kombinieren $\Rightarrow$ Die Vektoren in S sind linear unabhängig.
Wieso genügt es, den Nullvektor aus $\langle S \rangle$ zu betrachten, um auf die lineare Unabhängigkeit der Vektoren aus S zu schließen?

Zu (ii) Hier wird die Aussage per Kontraposition gezeigt und angenommen,
dass ein beliebiges $a\in\langle S\rangle$ auf verschiedene Arten aus Vektoren aus $S$ kombiniert werden kann. Aber die Negation von "auf genau eine Art und Weise" würde doch auch den Fall inkludieren, dass ein beliebiger Vektor $a \in \langle S \rangle$ auf keine Art und Weise aus Vektoren aus S linear kombiniert werden kann. Was ist in diesem Fall?

Wie immer danke ich euch für jede Hilfe!

VG X3nion



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-14 00:06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

2020-07-13 23:52 - X3nion im Themenstart schreibt:
Zu (i) Hier wird eine Implikation gezeigt:

Jedes $a\in\langle S\rangle$ lässt sich nur auf genau eine Art und Weise linear aus den Vektoren aus $S$ kombinieren $\Rightarrow$ Die Vektoren in S sind linear unabhängig.
Wieso genügt es, den Nullvektor aus $\langle S \rangle$ zu betrachten, um auf die lineare Unabhängigkeit der Vektoren aus S zu schließen?
Weil lineare Unabhängigkeit so definiert ist.


Zu (ii) Hier wird die Aussage per Kontraposition gezeigt und angenommen,
dass ein beliebiges $a\in\langle S\rangle$ auf verschiedene Arten aus Vektoren aus $S$ kombiniert werden kann. Aber die Negation von "auf genau eine Art und Weise" würde doch auch den Fall inkludieren, dass ein beliebiger Vektor $a \in \langle S \rangle$ auf keine Art und Weise aus Vektoren aus S linear kombiniert werden kann. Was ist in diesem Fall?
Wenn $a\in \langle S\rangle$ ist, dann lässt sich $a$ per Definition der linearen Hülle auf mindestens eine Weise als Linearkombination von Vektoren aus $S$ schreiben.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 00:22


Hallo Nuramon und vielen Dank, es ist mir nun klar geworden! 🙂

VG X3nion



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