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Lineare Algebra » Eigenwerte » Wie komme ich auf diese Matrixdarstellung?
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Universität/Hochschule Wie komme ich auf diese Matrixdarstellung?
Schildkroete007
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  Themenstart: 2020-07-17

Hi, Wie kann ich die Normalform von einem Polynom direkt ablesen? Immer wenn ich eine Matrix gegeben habe, bin so vorgegangen, dass ich über die Haupträume eine passende Basis aufgestellt habe, oder ich habe das charakteristische Polynom (um die Anzahl der Diagonalelemente eines Eigenwertes zu finden), das Mipo (größter Block eines Eigenwertes) und die Dimension des ersten Hauptraums (Anzahl der Blöcke zu einem Eigenwert) berechnet habe und auf Basis dieser Infos dann eine JNF aufgestellt habe. Nun geht es bei uns aber nicht nur ausschließlich um JNF sondern auch um Normalform im allgemeinen: Z.B. Bei diesem Polynom: $$p(T) =T^{4}+T^{3}−3T^{2}−5T−2$$ Das wurde in irreduzible Faktoren zerlegt: $$p(T)=(T-2)(T+1)^{3}$$ Jetzt wurde so vorgegangen, dass einfach ein dreidimensionaler Block zum EW $-1$ und ein eindimesnionaler Block zu $2$ gemacht wurde: $$J=\begin{pmatrix} 2 & 0&0&0 \\ 0 & -1&1&0 \\0 & 0&-1&1\\0 & 0&0&-1 \end{pmatrix}$$ Aber nun meine Frage: Woher weiß man, dass die JNF so aussieht, mit der größe der Blöcken? Bzw. woher weiß man, dass es überhaupt eine JNF ist? Hätte ja z.B. auch sein können, dass die zugehörige Matrix zum Polynom diagonalisierbar ist...oder? Und wo wir schon mal bei Polynomen und Matrizen sind, ist die Darstellung eines Polynoms als Matrix immer die Begleitmatrix? Also hätte ich auch so vorgegehen können, dass ich eine Begleitmatrix zu dem Polynom aufstelle und dann mit dem charakteristischen- und Minimalpolyno etc, wie oben gesagt eine JNF finde? Ich fände es sehr lieb, wenn mir jemand helfen würde. Viele Grüße


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Schildkroete007
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-17

Hat wirklich keiner eine Idee? :(


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