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Mechanik » Dynamik der Punktmasse » Senkrechter Wurf mit Reibung
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Universität/Hochschule J Senkrechter Wurf mit Reibung
aero
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  Themenstart: 2020-07-21

Moin, ich hab etwas im Forum gestöbert, jedoch eine richtige Antwort auf mein Problem erhalten, deshalb versuch ich das mal mit einem eigenen Post. Ich bearbeite gerade eine Altklausur, welche folgende Aufgabe beinhaltet: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53404_theo1.jpg Es gilt also folglich, dass zwei Kräfte der Bewegung entgegen wirken: \(F_R=-m\gamma v\\ F_G=-mg\) Damit ist die gesamte Kraft, die der Bewegung entgegen wirkt \(F=-mg-m\gamma v\). Stelle nun eine Bewegungsgleichung für die Geschwindkeitsabnahme \(v_G(t)=v_0-v(t)\) auf: \(F=-mv_G' \Rightarrow v_G'=g+ \gamma v = g+ \gamma v_0 - \gamma v_G\) Das Lösen der Differenzialgleichung ergibt \(v_G(t)=\frac{g}{\gamma}+v_0+Ce^{-\gamma t}\) woraus für die Geschwindigkeit \(v(t)=v_0-v_G(t)=-\frac{g}{\gamma}-Ce^{-\gamma t}\) folgt. Weiter gilt offensichtlich \(v_0 = v(0) = \frac{g}{\gamma} +C\), also \(C=v_0-\frac{g}{\gamma}\). Damit folgt die Lösung \(v(t)=-\frac{g}{\gamma}-(v_0-\frac{g}{\gamma})e^{-\gamma t}\) Berechne nun die Steigzeit \(t_s\) mit \(0=v(t_s)=-\frac{g}{\gamma}-(v_0-\frac{g}{\gamma})e^{-\gamma t_s}\) Mein Rechner erzielt hier das Ergebnis \(t_s=-\frac{1}{\gamma}ln(\frac{g^2-v_0 \gamma g}{\gamma^2})\) Die maximale Höhe kann ich nun mit \(z(t)=\int v(t)dt\) und \(z_{max}=z(t_s)\) berechnen, allerdings fällt schon bei der Steigzeit auf, dass das Resultat völlig anders aussieht, als bei einem senkrechten Wurf ohne Reibung, und sich auch nicht für \(\gamma \to 0\) diesem Ergebnis irgendwie annähert, sondern ins unendliche strebt. Ob der Grenzfall das gleiche Resultat wie der Wurf ohne Reibung liefert, wird zwar von der Aufgabe offen gelassen, mir fällt allerdings kein Grund ein, warum dies nicht so sein sollte. Deshalb Frage ich mich, wo mein Fehler liegt. Habe die Rechnungen selber mehrfach überprüft, also tippe ich eher auf einen Denkfehler, den ich noch nicht entdecken konnte. Bin über jede Hilfe dankbar😄 Gruß aero


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-21

Hallo aero, und herzlich Willkommen im Physikforum von Matroids Planet. Tipps: Löse die DGL für die Geschwindigkeit v(t) mit der Anfangsbedingung v(0)=v_0 Es tauchen in der Lösung dann zwei e\- Funktionen auf, die Du für den Grenzfall \g->0 in eine Reihe entwickeln mußt. Grüße Juergen


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aero
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-21

\quoteon(2020-07-21 12:20 - Spock in Beitrag No. 1) Hallo aero, und herzlich Willkommen im Physikforum von Matroids Planet. \quoteoff Hey, vielen Dank😄 \quoteon Tipps: Löse die DGL für die Geschwindigkeit v(t) mit der Anfangsbedingung v(0)=v_0 Es tauchen in der Lösung dann zwei e\- Funktionen auf, die Du für den Grenzfall \g->0 in eine Reihe entwickeln mußt. Grüße Juergen \quoteoff Bin mir gerade unsicher, was du meinst. Da ich die DGL für \(v_g(t)\) inklusive Anfangsbedingung bereits oben gelöst hab, verstehe ich deinen Tipp so, dass ich die Bewegungsgleichung für \(v(t)\) selber aufstellen muss. (also \(g+\gamma v =v'\) ? ) Die allgemeine Lösung dieser DGL wäre \(v(t)=C e^{t\gamma} -\frac{g}{\gamma}\). Wenn ich nun das AWP \(v_0=v(0)=C -\frac{g}{\gamma}\) löse, komme ich analog auf \(v(t)=(v_0+\frac{g}{\gamma}) e^{t\gamma} -\frac{g}{\gamma}\) Wie eine zweite Exponentialfunktion entstehen soll ist mir auch damit nicht klar.... 🤔 Gruß aero


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Spock
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-21

Hallo aero, gut, eine e- Funktion kürzt sich weg, die Lösung lautet aber v(t)=(v_0+g/\g) exp(-\g t)-g/\g Jetzt mußt Du für den Grenzfall \g->0 die e\-Funktion entwickeln Grüße Juergen


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aero
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-21

\quoteon(2020-07-21 12:57 - Spock in Beitrag No. 3) Hallo aero, gut, eine e- Funktion kürzt sich weg, die Lösung lautet aber v(t)=(v_0+g/\g) exp(-\g t)-g/\g Jetzt mußt Du für den Grenzfall \->0 die e\-Funktion entwickeln Grüße Juergen \quoteoff Ah, dann ergibt sich im Grenzfall auch \(v_0-gt\), was ich auch haben will. Das heisst, ich habe vermutlich in obriger Rechnung nur einen Vorzeichenfehler eingebaut, denn das ist der einzige Unterschied der beiden Gleichungen für die Geschwindigkeiten! Vielen Dank für die Hilfe😄 Gruß aero


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