Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphe injektive Funktion und Singularitäten
Autor
Universität/Hochschule J holomorphe injektive Funktion und Singularitäten
nitram999
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Themenstart: 2020-07-24

Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe: Sei f: \IC\\{0} -> \IC holomorph und injektiv. Zeigen Sie: In z=0 kann f keine wesentliche Singularität haben. Sieht man das direkt aus dem Satz von Casorati Weierstraß? Könntet ihr mir bitte weiterhelfen? Vielen Dank schon mal! LG nitram999


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo nitram999, ja, Casorati-Weierstraß ist genau richtig. Wähle dazu eine offene punktierte Scheibe $\dot U_r$ um $0$. Nimm dann irgendeine andere offene Teilmenge von $\C\backslash\{0\}$, die $\dot U_r$ nicht schneidet, und vergleiche deren Bild unter $f$ mit dem Bild von $\dot U_r$. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


   Profil
nitram999
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24

Danke für die schnelle Antwort! D.h. angenommen z=0 wäre eine wesentliche Singularität von f. Wenn man nun z.B. die punktierte offene Einheitskreisscheibe nimmt und deren Bild unter f betrachtet, dann ist dieses ja nach Casorati-Weierstraß dicht in \IC. Das heißt, dass der Abschluss dieses Bildes ganz \IC ist und somit schon jeder Punkt erreicht wird. Nehme nun eine Kreisscheibe um z.B. 5 mit Radius 1. Für eine Zahl c aus dieser Kreisscheibe sei f(c)=d mit c,d \el\ \IC. Dann ex. aber auch ein z in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe mit f(z)=d. Da z != c gilt, liefert das einen Widerspruch zur Injektivität. Daher kann z=0 keine wesentliche Singularität sein. Stimmt das so? LG nitram999


   Profil
nitram999
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24

Ich hab gerade noch ein Problem wenn ich genauer drüber nachdenke. Und zwar sagt mir die Dichtheit aus Casorati-Weierstraß ja nur, dass das Bild an jeden Punkt in C beliebig nah rankommt, aber nicht dass man jeden Punkt auch trifft, oder? Dann würde man den Widerspruch mit der Injektivität nicht hinkriegen... Danke schon mal für die Hilfe :) LG nitram999


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Ja, nur aus der Dichtheit kannst du nicht ableiten, dass ein bestimmter Wert tatsächlich angenommen wird. Aber du kannst dir zumindest sicher sein, dass keine offene Menge vollständig ausgelassen wird: Der Schnitt einer offenen mit einer dichten Teilmenge von $\C$ ist nichtleer.\(\endgroup\)


   Profil
nitram999
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 371
Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-25

Ah okay danke :) Gibt es da einen Satz oder ein Argument, dass dies veranschaulicht?


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Das ist (fast) die Definition der Dichtheit. Eine Teilmenge $D\subseteq\C$ heißt dicht, wenn $\overline D=\C$. Das heißt, dass jede offene Umgebung eines Elements von $\C$ (also einfach jede offene Menge) auch mindestens ein Element von $D$ enthält.\(\endgroup\)


   Profil
nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nitram999 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]