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Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphe Funktion konstant
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Universität/Hochschule holomorphe Funktion konstant
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-02


Hallo, ich sitze an einer Aufgabe und komme nicht weiter:

fed-Code einblenden

Vielen Dank schon mal!
MfG nitram999



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-02


Hallo,
|1−f(z)| ≥ |Re(1−f(z))| ≥ Re(1−f(z)) ≥ 1
Dann ist |1/(1−f(z))| <= 1
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02


Hallo Wauzi,

danke für die Antwort, aber ich verstehe noch nicht so ganz warum man
|1-f(z)| betrachtet und wie am Ende dann folgt, dass |f(z)|<=1 ist.

Kannst du mir das noch erklären?

Und der Rest meiner Argumentation stimmt?

LG nitram999



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-02


Es ist nicht |f|<=1, sondern der angegebene Bruch.
Daß man 1-f betrachtet, ist ein technischer Trick, um bei der Ungleichungsfolge rechts etwas Brauchbares zu haben.
Deine Idee mit dem Maximumprinzip ist richtig, es wird nur nicht auf f sondern auf den Bruch angewandt



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02


Okay, aber dann lässt sich ja gar nicht sagen, dass bei 0 ein lokales Maximum vorliegt, weil bei dem Bruch ja   fed-Code einblenden
herauskommt, wenn man in f(z) 0 einsetzt.

Wie würde man dann das Maximumsprinzip anwenden?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-02


Der Bruch ist eine beschränkte holomorphe Funktion. Versuche zu zeigen, daß er konstant ist, Dann ist es auch f



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03


Ich hab mich jetzt einige Zeit daran versucht, aber stehe so wie's aussieht echt auf dem Schlauch. Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben oder zeigen, wie man das Maximumprinzip auf den Bruch anwendet?

Weil eigentlich benötigt man ja ein lokales Maximum in D, aber wie man das erhält, ist mir nicht ersichtlich.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-03


2020-08-02 18:21 - nitram999 im Themenstart schreibt:

Um aber das Maximumprinzip anwenden zu können, muss doch fed-Code einblenden
fed-Code einblenden


Der Bruch ist <=1



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Aber das sichert mir doch noch nicht, dass ein lokales Maximum existiert, oder?
Also mein Gedanke war, wenn man |f(z)|<= 1 hätte, dann wüsste man ja wegen f(0)=i womit dann |f(0)|=1 gilt, dass f in D ein lokales Maximum hat und kann das maximumprinzip anwenden.

Wie macht man das jetzt bei dem Bruch? Man müsste jetzt ja wissen, dass ein z in D existiert, sodass f(z)=0 gilt. Denn nur dann wäre der Bruch gleich 1 und man hätte ein lokales Maximum.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Könnte man vielleicht irgendwie die Voraussetzung Re f(z) <= 0 verwenden,
um f(z)<= 1 zu zeigen?

Es gilt ja |exp(f(z)| = exp(Re f(z)) <= exp(0)=1
für alle z in D.

Wie geht es weiter?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-04


Siehe z.B.Satz 11.1 auf folgender Seite


Vielleicht bringt Dich das weiter



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Hallo Wauzi,

Ja diesen Satz meinte ich den ganzen Thread als das Maximumsprinzip, wie ich es kenne. Jedoch braucht man hierzu ein lokales Maximum. Das fehlt mir noch zu zeigen. Kannst du mir dabei vielleicht helfen?

2 Möglichkeiten:
1) Entweder muss man zeigen, dass |f(z)|<=1 für alle z in D und dann die Angabe mit f(0)=i    verwenden. Dann ist in 0 ein lokales Maximum und man kann das Maximumsprinzip verwenden und f ist konstant in D.
2) Oder zeige |Ref(z)| hat lokales Maximum. Dann erhält man mit dem Maximumsprinzip, dass Re f konstant ist im D, und dann folgt mit einem Satz, dass auch f konstant in D ist.

Nun kann man wegen f(0)=i sagen, dass f dann konstant i ist und somit auch der gesuchte Wert bei i/2008 (der in D liegt).



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