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  holomorphe Funktion konstant |
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nitram999
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 |  Themenstart: 2020-08-02
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Hallo, ich sitze an einer Aufgabe und komme nicht weiter:
f: D -> \IC sei holomorph (D sei die offene Einheitskreisscheibe) mit Re f(z) <= 0 \forall\ z\el\ D und f(0)=i.
Was ist f(i/2008)?
Und zwar vermute ich, dass man mit dem Maximumsprinzip zeigen kann, dass f konstant ist und wegen f(0)=i, also f=i \forall\ z\el\ D gelten muss und somit dann f(i/2008)=i gilt.
Um aber das Maximumprinzip anwenden zu können, muss doch abs(f(z))<=1 \forall\ z\el\ D gelten. Hier weiß ich nicht genau, wie man dies zeigt, kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal!
MfG nitram999
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Wauzi
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-02
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Hallo,
|1−f(z)| ≥ |Re(1−f(z))| ≥ Re(1−f(z)) ≥ 1
Dann ist |1/(1−f(z))| <= 1
Gruß Wauzi
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nitram999
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02
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Hallo Wauzi,
danke für die Antwort, aber ich verstehe noch nicht so ganz warum man
|1-f(z)| betrachtet und wie am Ende dann folgt, dass |f(z)|<=1 ist.
Kannst du mir das noch erklären?
Und der Rest meiner Argumentation stimmt?
LG nitram999
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Wauzi
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-02
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Es ist nicht |f|<=1, sondern der angegebene Bruch.
Daß man 1-f betrachtet, ist ein technischer Trick, um bei der Ungleichungsfolge rechts etwas Brauchbares zu haben.
Deine Idee mit dem Maximumprinzip ist richtig, es wird nur nicht auf f sondern auf den Bruch angewandt
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nitram999
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-02
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Okay, aber dann lässt sich ja gar nicht sagen, dass bei 0 ein lokales Maximum vorliegt, weil bei dem Bruch ja 1/sqrt(2) <1
herauskommt, wenn man in f(z) 0 einsetzt.
Wie würde man dann das Maximumsprinzip anwenden?
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Wauzi
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-02
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Der Bruch ist eine beschränkte holomorphe Funktion. Versuche zu zeigen, daß er konstant ist, Dann ist es auch f
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nitram999
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03
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Ich hab mich jetzt einige Zeit daran versucht, aber stehe so wie's aussieht echt auf dem Schlauch. Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben oder zeigen, wie man das Maximumprinzip auf den Bruch anwendet?
Weil eigentlich benötigt man ja ein lokales Maximum in D, aber wie man das erhält, ist mir nicht ersichtlich.
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Wauzi
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-03
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\quoteon(2020-08-02 18:21 - nitram999 im Themenstart)
Um aber das Maximumprinzip anwenden zu können, muss doch abs(f(z))<=1 \forall\ z\el\ D gelten.
\quoteoff
Der Bruch ist <=1
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nitram999
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04
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Aber das sichert mir doch noch nicht, dass ein lokales Maximum existiert, oder?
Also mein Gedanke war, wenn man |f(z)|<= 1 hätte, dann wüsste man ja wegen f(0)=i womit dann |f(0)|=1 gilt, dass f in D ein lokales Maximum hat und kann das maximumprinzip anwenden.
Wie macht man das jetzt bei dem Bruch? Man müsste jetzt ja wissen, dass ein z in D existiert, sodass f(z)=0 gilt. Denn nur dann wäre der Bruch gleich 1 und man hätte ein lokales Maximum.
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nitram999
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04
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Könnte man vielleicht irgendwie die Voraussetzung Re f(z) <= 0 verwenden,
um f(z)<= 1 zu zeigen?
Es gilt ja |exp(f(z)| = exp(Re f(z)) <= exp(0)=1
für alle z in D.
Wie geht es weiter?
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Wauzi
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-04
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Siehe z.B.Satz 11.1 auf folgender Seite
https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.020/gerlach/ss14/elft/skript.pdf
Vielleicht bringt Dich das weiter
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nitram999
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04
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Hallo Wauzi,
Ja diesen Satz meinte ich den ganzen Thread als das Maximumsprinzip, wie ich es kenne. Jedoch braucht man hierzu ein lokales Maximum. Das fehlt mir noch zu zeigen. Kannst du mir dabei vielleicht helfen?
2 Möglichkeiten:
1) Entweder muss man zeigen, dass |f(z)|<=1 für alle z in D und dann die Angabe mit f(0)=i verwenden. Dann ist in 0 ein lokales Maximum und man kann das Maximumsprinzip verwenden und f ist konstant in D.
2) Oder zeige |Ref(z)| hat lokales Maximum. Dann erhält man mit dem Maximumsprinzip, dass Re f konstant ist im D, und dann folgt mit einem Satz, dass auch f konstant in D ist.
Nun kann man wegen f(0)=i sagen, dass f dann konstant i ist und somit auch der gesuchte Wert bei i/2008 (der in D liegt).
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nitram999
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12
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Kann mir hier nochmal jemand weiterhelfen?
Aus den Ungleichungen (siehe oben) folgt ja:
abs(1/(1-f(z)))<=1
Wie kann man zeigen, dass dieser Bruch konstant ist?
Wenn dies so ist, wüsste man ja auch dass f in der offenen Einheitskreisscheibe konstant ist und damit f dann wegen f(0)=i konstant i sein muss.
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sonnenschein96
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-12
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Hallo nitram999,
ich weiß gerade nicht, worauf Wauzi damals hinaus wollte, aber Du siehst eigentlich direkt mit dem Satz von der offenen Abbildung, dass \(f\) konstant sein muss. Andernfalls wäre \(f(\mathbb{D})\) eine offene Menge, welche \(i\) enthält und damit auch Zahlen mit positivem Realteil.
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Wauzi
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-12
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Hallo,
der Bruch ist holomorph.
Gruß Wauzi
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nitram999
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12
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Hallo sonnenschein96!
Also mit dem Satz von der offenen Abbildung meinst du bestimmt das Offenheitsprinzip?
Wir nehmen also an, dass f!==konst. gilt. Dann folgt mit dem Offenheitsprinzip, dass f(\ID) ein Gebiet ist, also insbesondere eine offene Menge.
Da nach Voraussetzung f(0)=i gilt, folgt mit der Offenheit von f(\ID) und i\el\ f(\ID), dass eine Umgebung U_\epsilon (i) existiert mit \epsilon>0 und
U_\epsilon (i)\subsetequal\ f(\ID).
Damit wäre in f(\ID) aber auch ein z\el\ \ID enthalten für das Re f(z)>0 gilt, im Widerspruch zur Voraussetzung Re f(z)<=0.
Also ist f konstant und wegen f(0)=i gilt f==i.
Stimmt das so?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
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nitram999
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12
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Hallo Wauzi,
ja er ist holomorph im offenen Einheitskreis. Kann ich aber aus der Abschätzung dann schon folgern, dass der Bruch konstant ist? Wenn ja, wie?
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sonnenschein96
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-10-12
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\quoteon(2021-10-12 13:40 - nitram999 in Beitrag No. 15)
Damit wäre in f(\ID) aber auch ein z\el\ \ID enthalten für das Re f(z)>0 gilt [...]
\quoteoff
Es sollte eher heißen: Damit gäbe es ein \(z\in\mathbb{D}\) mit \(\operatorname{Re}f(z)>0\).
@Wauzi: Du bist etwas einsilbig. Für \(f(z)=z-1\) gilt auch \(\operatorname{Re}f(z)\leq0\) für alle \(z\in\mathbb{D}\). Erst die Bedingung \(f(0)=i\) erzwingt, dass \(f\) konstant sein muss. Es ist nicht ersichtlich, an welcher Stelle Du diese Bedingung einbringen möchtest.
Mit dem Maximumsprinzip könnte man es aber vielleicht so machen:
\[|1+i-f(z)|\geq\operatorname{Re}(1+i-f(z))=1-\operatorname{Re}f(z)\geq1\]
und damit ist
\[\left|\frac{1}{1+i-f(z)}\right|\leq1.\]
Die Funktion \(z\mapsto1/(1+i-f(z))\) ist holomorph und nimmt in \(0\) den Wert \(1\) an und ist somit konstant, also ist auch \(f\) konstant.
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nitram999
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12
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Okay danke sonnenschein96!
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Wauzi
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| Beitrag No.19, eingetragen 2021-10-12
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sonnenschein96:
Du hast Recht, den Fehler habe ich schon damals gemacht: Ich habe den Bruch gemeint aber f(0) (mit |f(0)|=1) betrachtet. Schade um die Abschätzung.
Gruß Wauzi
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nitram999
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-12
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Deine grundsätzliche Idee war ja auch super Wauzi, nur dass das i noch gefehlt hat, um dann wirklich ein lokales Maximum bei 0 zu erhalten.
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2023-03-24 11:03 U ?
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