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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Minimales Erzeugendensystem einer Algebra
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Universität/Hochschule Minimales Erzeugendensystem einer Algebra
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-05


Hallo Leute,

Ich brauche eine Antwort ob folgende Aussage stimmt:

Ist ein ein minimales Erzeugendensystem der Polynomalalgebra k[x_1,...,x_n] über einen Körper der Charakteristik 0 (z.B. IR oder IC) automatisch algebraisch unabhängig?

Vielleicht weiß ja jemand eine Quelle falls dies stimmt?

Viele Grüße,
Dominik



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-05


Ein Erzeugendensystem aus $m$ Elementen entspricht einem surjektiven Homomorphismus

$\varphi : k[x_1,\dotsc,x_m] \to k[x_1,\dotsc,x_n].$

Weil die Krulldimension sich bei surjektiven Homomorphismen nur verringern kann, folgt $m \geq n$. Vermutung: Ein minimales Erzeugendensystem erfüllt sogar $m = n$. (Ich habe nicht wirklich darüber nachgedacht, ob das stimmt.)

Wenn das stimmt, kann man so weiter vorgehen, um die Injektivität von $\varphi$ (darum geht es!) zu zeigen: Wenn $0 \neq f$ im Kern ist, dann bekommen wir einen surjektiven Homomorphismus

$k[x_1,\dotsc,x_n] / \langle f \rangle \to k[x_1,\dotsc,x_n].$

Aber die Krulldimension von $k[x_1,\dotsc,x_n] / \langle f \rangle$ ist $n-1$ (Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Corollary 2.5.26), Widerspruch. (Alternativ könnte man hier Ax-Grothendieck verwenden.)



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