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Universität/Hochschule Holomorphe Funktion
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-06


Hallo,

ich sitze hier an einer Aufgabe, wozu ich überhaupt keine Idee habe.

fed-Code einblenden
(D sei die offene Einheitskreisscheibe)


Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?

Vielen Dank schon einmal,
LG nitram999



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-06


Hallo,

Benutze die Cauchysche Integralformel für die zweite Ableitung und die Standardabschätzung.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06


Hallo traveller,

danke für die schnelle Antwort! An die Standardabschätzung hab ich gar nicht gedacht. Mir stellt sich nun aber die Frage, welchen Weg man am besten wählt. Den Rand von D darf man ja nicht wählen. Also muss man einen Weg in D wählen, der um 0,5 läuft. Macht es für die Abschätzung dann einen Unterschied ob man z.B. den Rand von offenen Kreis mit Radius 0,6 um 0 wählt oder den des offenen Kreises mit Radius 0,9 um die 0?

Mit der Cauchy-Integralformel gilt (wenn 0,5 einmal vom Weg umlaufen wird):


fed-Code einblenden

Wie geht es nun weiter, bzw. welchen Weg muss ich wählen?

Vermutlich kommt am Ende dann ja heraus, dass fed-Code einblenden
und demnach gibt es keine solche Funktion f. Stimmt das?

LG nitram999



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 21:38 - nitram999 in Beitrag No. 2 schreibt:
Macht es für die Abschätzung dann einen Unterschied ob man z.B. den Rand von offenen Kreis mit Radius 0,6 um 0 wählt oder den des offenen Kreises mit Radius 0,9 um die 0?

Ja, macht es, und es wird sich zeigen dass es mit diesen beiden Radien nicht funktioniert.

2020-08-06 21:38 - nitram999 in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden
Hier muss auch ein $\leq$ (oder sogar ein $<$) stehen, da ja eben $L(\gamma)<2\pi$.

Da du weisst, wohin $f$ abbildet, kannst du nun den Zähler nach oben abschätzen. Den Nenner schätzt du nach unten ab, und hier kommt es eben drauf an, was für einen Radius man wählt.

2020-08-06 21:38 - nitram999 in Beitrag No. 2 schreibt:
Vermutlich kommt am Ende dann ja heraus, dass fed-Code einblenden
und demnach gibt es keine solche Funktion f. Stimmt das?

Ja. Du willst also möglichst klein abschätzen, demnach muss der Nenner im max möglichst ... sein.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06


Okay danke für die Antwort!
Dass fed-Code einblenden gilt, liegt daran, weil der Kreisweg ja nur einmal umlaufen wird und wenn es gleich 2\pi wäre, dann würde 1 Punkt des Weges ja zweimal durchlaufen werden oder?

Und fed-Code einblenden gilt, da f ja nach D abbildet. Also schätzt man den Zähler damit ab.

Es ergibt sich:

fed-Code einblenden

Wie man aber den Nenner nach unten abschätzt erschließt sich mir noch nicht ganz. Dann müsste man ja einen Weg entlang eines offenen Kreisrandes mit Radius knapp über 0,5 um 0 wählen, aber dadurch würde das Maximum ja sehr groß werden bzw gegen unendlich gehen oder?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 22:37 - nitram999 in Beitrag No. 4 schreibt:
Okay danke für die Antwort!
Dass fed-Code einblenden gilt, liegt daran, weil der Kreisweg ja nur einmal umlaufen wird und wenn es gleich 2\pi wäre, dann würde 1 Punkt des Weges ja zweimal durchlaufen werden oder?
Nein. Einzelne Punkte haben Maß 0 und ändern die Länge nicht. Aber du hast ja richtig argumentiert, dass wir einen Kreis mit Radius kleiner $1$ durchlaufen müssen, dieser hat natürlich auch einen Umfang kleiner $2\pi$.

2020-08-06 22:37 - nitram999 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie man aber den Nenner nach unten abschätzt erschließt sich mir noch nicht ganz. Dann müsste man ja einen Weg entlang eines offenen Kreisrandes mit Radius knapp über 0,5 um 0 wählen, aber dadurch würde das Maximum ja sehr groß werden bzw gegen unendlich gehen oder?
Mit "nach unten abschätzen" meine ich finde ein $c$ mit $c\leq |\xi-0.5|^3$, da man dann den Kehrwert nach oben abschätzen kann:
$$\frac{1}{|\xi-0.5|^3}\leq\frac{1}{c}\enspace.$$ Du solltest das $c$ also möglichst gross wählen, damit man inklusive dem Vorfaktor $2$ unter $17$ kommt.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06


Achso stimmt, ich stand da mit der Länge jetzt auf dem Schlauch ^^

Achso okay, dann würde ich mit 1 abschätzen, sodass dann fed-Code einblenden ist.

Somit folgt dann:

fed-Code einblenden

Stimmt das jetzt so?

Wie würdest du das dann hinschreiben mit dem Weg fed-Code einblenden ? Weil den Rand von D kann man ja nicht wählen...



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 23:00 - nitram999 in Beitrag No. 6 schreibt:
Achso okay, dann würde ich mit 1 abschätzen, sodass dann fed-Code einblenden ist.
Aber jetzt haben wir doch gerade argumentiert, dass du eben keinen Kreis mit Radius $1$ wählen darfst??

2020-08-06 23:00 - nitram999 in Beitrag No. 6 schreibt:
fed-Code einblenden
$\frac{1}{0.125}=??$

2020-08-06 23:00 - nitram999 in Beitrag No. 6 schreibt:
Wie würdest du das dann hinschreiben mit dem Weg fed-Code einblenden ? Weil den Rand von D kann man ja nicht wählen...
Nimm einen Kreis mit Radius ganz wenig kleiner 1, sodass die Abschätzung noch funktioniert. Muss man evtl. kurz probieren. $0.9$ etwa reicht bei weitem nicht mehr.

Ausserdem: Etwas ausführlicher sollte das wohl schon sein. Schliesslich muss die Abschätzung
$$c\leq |\xi-0.5|^3=|re^{it}-0.5|^3$$ für alle $\xi\in\text{Spur}(\gamma)$ bzw. für alle $t\in[0,2\pi)$ gelten. Aber ich denke mal es genügt, das grafisch zu veranschaulichen.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06


Ja das stimmt, aber ich dachte zum abschätzen dürfte ich die 1 verwenden?

Aber vermutlich nicht, weil man ja das Maximum von den Spurelementen will und die eben einen kleineren Abstand als 1 von der 0 haben müssen.

Oh 1/0,125=8, also käme 16<17 raus.


Ja das stimmt, wobei dann mit der Dreiecksungleichung dann nur der Radius wiederum wichtig ist:
fed-Code einblenden

Und du hast Recht, mit 0,9 funktioniert es nicht. Aber wenn ich z.B. den Radius 0,999 nehme, dann gibt es ja auch noch größere Radien (und kleinere) die auch funktionieren.
Mein Problem ist jetzt noch: Warum ist die Aufgabe bewiesen, wenn man einen speziellen Radius festlegt? Denn für kleinere Radien ist die Ungleichung ja erfüllt.

Mit r=0,999 würde dann gelten:
fed-Code einblenden



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-07


Ja, mit der umgekehrten Dreiecksungleichung ist das sauber.

Du kriegst mit allen Radien $r\in(0.5,1)$ eine Abschätzung, und natürlich sind alle immer korrekt! Je kleiner $r$, desto gröber jedoch die Abschätzung, desto grösser die obere Grenze.

Durch Grenzwertbildung $r\rightarrow1$ kann man die Abschätzung wohl noch nach $16$ drücken, für die Aufgabe ist das aber nicht nötig.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07


Okay vielen Dank für die Hilfe traveller!

Das heißt, es kann keine solche Funktion f geben, weil man einen Weg findet, wo dann bei der Abschätzung die 17 betraglich nicht erreicht werden kann?

Weil für mich ist das noch verwirrende, dass man ja bei der Wahl von r=0,9 beim Abschätzen über 17 kommt und es theoretisch noch möglich wäre, dass es ein solches f gibt...

Und zum Verständnis: wenn statt 17 dort 15 stünde, dann hätte wüsste man noch nicht, dass es keine solche Funktion geben kann oder?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-07


Der gewählte Weg ist von der Aufgabe unabhängig, die Abschätzung muss also für alle Radien funktionieren.

2020-08-07 10:51 - nitram999 in Beitrag No. 10 schreibt:
Weil für mich ist das noch verwirrende, dass man ja bei der Wahl von r=0,9 beim Abschätzen über 17 kommt und es theoretisch noch möglich wäre, dass es ein solches f gibt...
Nein, es ist nicht möglich, dass es ein solches $f$ gibt, auch nicht "theoretisch". Wenn du $r=0.9$ wählst, lieferst du dafür einfach keinen Beweis. Dann hättest du genausogut den Satz des Pythagoras beweisen können, was vielleicht alles richtig wäre, aber bei der Aufgabe nicht weiterhilft.

Wenn dort $15$ stünde, dann funktioniert dieser Ansatz nicht. Beziehungsweise, ich vermute dass die Aussage dann falsch ist und man eine solche Funktion finden kann, sehe aber nicht, wie man diese konstruieren könnte (wenn überhaupt).



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07


Ja aber wenn ich Wege mit immer kleineren Radien gegen 0,5 wähle, dann geht die Abschätzung ja gegen unendlich und liefert keine Aussage zur Aufgabe.

Woher weiß man dann jetzt genau, dass kein solches f existieren kann? Einfach weil man einen Weg findet für den die 17 nicht mehr möglich ist nach der Abschätzung, oder?

Sorry für das ganze hin und her aber hier bin ich ziemlich verwirrt. Nach der Cauchy Integralformel ist der Weg ja beliebig, das heißt ja, es muss für alle nullhomologen Wege in D funktionieren, das tut es aber nicht, da für Wege mit Radius nahe bei 1 die 17 ausgeschlossen wird. Warum ist diese Begründung deiner Meinung nach falsch? Und woran genau macht man fest, dass die Aussage bewiesen ist?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-07


2020-08-07 11:32 - nitram999 in Beitrag No. 12 schreibt:
Woher weiß man dann jetzt genau, dass kein solches f existieren kann? Einfach weil man einen Weg findet für den die 17 nicht mehr möglich ist nach der Abschätzung, oder?

Ja.

2020-08-07 11:32 - nitram999 in Beitrag No. 12 schreibt:
Sorry für das ganze hin und her aber hier bin ich ziemlich verwirrt. Nach der Cauchy Integralformel ist der Weg ja beliebig, das heißt ja, es muss für alle nullhomologen Wege in D funktionieren, das tut es aber nicht, da für Wege mit Radius nahe bei 1 die 17 ausgeschlossen wird. Warum ist diese Begründung deiner Meinung nach falsch?

Die Formel selbst gibt für jeden gültigen Weg den gleichen Wert von $f''(0.5)$ aus. Die Unterschiede kommen erst bei der Abschätzung rein.



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nitram999
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Ah okay, das heißt die CIF weist f''(0,5) einen eindeutigen Wert zu, der unabhängig vom umlaufenden Weg gleich bleibt.
Da man mit der Abschätzung sieht, dass bei der stärksten Abschätzung der Betrag dieses Wertes kleiner als 17 sein muss, folgt dass es kein solches f geben kann.

Passt das so jetzt?



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traveller
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Die stärkste Abschätzung bei diesem Weg ist wohl eher 16, wenn man den Grenzwert $r\rightarrow1$ betrachtet.

Und natürlich sind noch deutlich bessere Abschätzungen möglich: Etwa mit
$$|f''(0.5)|=\frac{2}{2\pi}\left|\int_0 ^{2\pi} \frac{f(r e^{it})}{(r e^{it}-0.5)^3}\cdot ir e^{it}\right|dt\leq\frac{2}{2\pi}\int_0 ^{2\pi} \frac{|f(r e^{it})|}{|r e^{it}-0.5|^3}\cdot r dt\\\leq\frac{2}{2\pi}\cdot r\cdot\int_0 ^{2\pi} \frac{1}{|r e^{it}-0.5|^3}dt\enspace.$$ Wenn ich das letzte Integral nun numerisch auswerten lasse, erhalte ich für $r=0.999$ sogar die Abschätzung
$$|f''(0.5)|\leq3.79\enspace,$$ also nochmals deutlich besser (das heisst, meine Vermutung in #11 war falsch).



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nitram999
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Okay dankeschön für die weiterführenden Ideen :) aber der obige Weg reicht ja schon aus. Und ich denke ich habs jetzt auch einigermaßen verstanden.

LG nitram999



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-08-15


Nur so als Ergänzung: wenn man als Weg einen Kreis mit Mittelpunkt 1/2 wählt, lässt sich der Nenner viel leichter abschätzen und man kommt relativ schmerzlos auf <math>|f""(1/2)|\leq 8</math>.

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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