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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie holomorphe Funktion konstant
Autor
Universität/Hochschule J Funktionentheorie holomorphe Funktion konstant
nitram999
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  Themenstart: 2020-08-07

Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe und komme nicht weiter: Es sei f: \ID -> \IC holomorph mit Re f(z) \el\ \IQ \forall\ z\el\ \ID (\ID sei die offene Einheitskreisscheibe) Welchen Wert hat dann f'(0,52201)? Es ist ja hier wahrscheinlich zu zeigen, dass f konstant ist, woraus dann f' konstant 0 folgen würde und wonach dann auch f'(0,52201) = 0 wäre. Jedoch weiß ich nicht, wie man aus der Bedingung mit dem Realteil zeigen kann, dass f konstant ist. Intuitiv muss ja der Realteil konstant sein, denn wenn er veränderlich wäre, würde er wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen auch irrationale Zahlen annehmen. Somit muss Re f(z) = q mit q\el\ \IQ für alle z \el\ \ID gelten. Da Re f(z) konstant ist würde dann nach einem Satz der Vorlesung folgen, dass f konstant ist. Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon mal! LG nitram999

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traveller
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-07

Hallo, Man könnte es so machen: Nimm an es existieren $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ mit $\operatorname{Re}(f(z_1))

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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07

Hallo, danke für die Antwort! Gut dann lag ich mit meiner Vermutung ja richtig und es hat lediglich die exakte Formulierung mit Zwischenwertsatz gefehlt. Wenn man diese noch einbringt, ist der Beweis dann erbracht, dass f'(0,52201)=0 gilt, oder?

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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-07

Alternativer Beweis: • $\IQ$ ist total unzusammenhängend • Holomorphe Funktionen sind stetig • Der Realteil ist eine stetige Funktion. • Stetige Funktionen bilden zusammenhängende Teilmengen auf zusammenhängende Teilmengen ab.

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