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 Satz zu linearen Abbildungen |
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
 |  Themenstart: 2020-08-09
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Hallo zusammen!
Mir ist etwas beim Beweis des folgenden Satzes nicht so ganz klar.
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Satz: Sei $\{a_i\}_{i\in I}$ eine Basis von $V$ und seien $b_i\in W$, $i\in I$, beliebig. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ mit $f(a_i)=b_i$ für alle $i\in I$.
Beweis: Sei $J \subset I$ eine beliebige endliche Teilmenge. Sei $a=\sum\limits_{i\in J}\lambda^ia_i$ eine beliebige Linearkombination der Vektoren $a_i$, also ein beliebiger Vektor in $V$. Definiere $f(a):=\sum\limits_{i\in J}\lambda^if(a_i) =\sum\limits_{i\in J}\lambda^ib_i$.
Diese Abbildung $f$ ist linear: Seien nämlich $a,b\in V$ und $\lambda,\mu\in F$ beliebig. Ohne Einschränkung wollen wir $a=\sum\limits_{i=1}^n\alpha^ia_i$ und $b=\sum\limits_{i=1}^n\beta^ia_i$ annehmen, dass sich also beide Vektoren aus denselben Basisvektoren linear kombinieren lassen und dass diese die angegebenen Indices tragen. Es folgt
$\begin{align*}
f(\lambda a+\mu b)
=&\,f\left(\lambda\sum\limits_{i=1}^n\alpha^ia_i
+\mu\sum\limits_{i=1}^n\beta^ia_i\right)
=f\left(\sum\limits_{i=1}^n\left(\lambda\alpha^i
+\mu\beta^i\right)a_i\right)\\
=&\,\sum\limits_{i=1}^n\left(\lambda\alpha^i+\mu\beta^i\right)b_i
=\lambda\sum\limits_{i=1}^n\alpha^ib_i
+\mu\sum\limits_{i=1}^n\beta^ib_i =\lambda f(a)+\mu f(b).
\end{align*}$
Zur Eindeutigkeit: Sei $g\colon V\to W$ eine weitere solche Abbildung. Dann folgt für einen beliebigen Vektor $a=\sum\limits_{j\in J} \lambda^ja_j$, $J\subset I$ endlich, ohne Einschränkung $J=\{1,\ldots,n\}$, \[g\left(\sum\limits_{i=1}^n
\lambda^ia_i\right) =\sum\limits_{i=1}^n \lambda^ig(a_i)
=\sum\limits_{i=1}^n \lambda^if(a_i) =f\left(\sum\limits_{i=1}^n
\lambda^ia_i\right).\]
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Was ich nun nicht verstehe:
1) Laut Voraussetzung sind die $b_{i}'s$ beliebig gewählt. Wieso weiß man, dass gerade $\sum \limits_{i \in J}^{}\lambda^{i}f(a_i) = \sum \limits_{i \in J}^{}\lambda^{i}b_{i}$ gilt? Gilt es nicht gerade das zu zeigen?
2) Und wieso wird der Beweis so aufgezogen, dass er mit Teilmengen $J \subset I$ argumentiert, und nicht ganz I betrachtet? Es soll ja gezeigt werden, dass $f(a_i) = b_i$ für alle $i \in I$ gilt?
Wie immer wäre ich euch für jede Antwort sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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qwertzusername
Senior 
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-09
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Hallo,
die $b_i$ sind beliebig, aber fest.
Der Zusammenhang $f(a_i)=b_i$ ist nicht zu zeigen, dass ist eine Voraussetzung. Und bei der Gleichheit wird das nur eingesetzt.
2) Du betrachtest hier unter Umständen unendliche Basen. Das wichtige Detail ist, dass die J endliche Teilmengen, nur so kann man die summieren definieren.
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-09
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Die Antwort von qwertzusername ist nicht ganz richtig.
Zur zweiten Frage: Tatsächlich ist es besser für den Beweis (das sieht man etwa beim Teil mit der Linearität), die gesamte Indexmenge zu verwenden und
$a = \sum_{i \in I} \lambda^i a_i$
zu schreiben. Hierbei sind fast alle Koeffizienten $\lambda^i = 0$. Es gibt also nur endlich viele relevanten Summanden, sodass die Summe wohldefiniert ist. Und tatsächlich stellt ja auch genau dies den bekannten Isomorphismus $K^{(I)} \to V$, $(\lambda^i)_{i \in I} \mapsto \sum_{i \in I} \lambda^i a_i$ her. Hierbei besteht $K^{(I)} \subseteq K^I$ gerade aus den Familien von Koeffizienten, die fast alle $0$ sind.
Zur ersten Frage: Tatsächlich ist die Definition unpräzise. Richtig wäre, $f(a) := \sum_{i \in I} \lambda^i b_i$ zu definieren. Aus dieser Definition folgt dann leicht $f(a_i)=b_i$.
Die zitierte Definition bei der Existenz von $f$ verschleiert das und suggeriert, dass $f(a_i)=b_i$ eine Voraussetzung ist. Es handelt sich aber um eine Folgerung aus der Definition von $f$. Dass man diese Eigenschaft haben muss, um den Beweis zu führen, ändert daran nichts. Bei der Eindeutigkeit hingegen werden $f(a_i)=b_i$ und $g(a_i)=b_i$ vorausgesetzt.
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09
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Hallo zusammen und vielen Dank für eure Antworten!
\quoteon(2020-08-09 08:40 - Triceratops in Beitrag No. 2)
Die Antwort von qwertzusername ist nicht ganz richtig.
Zur zweiten Frage: Tatsächlich ist es besser für den Beweis (das sieht man etwa beim Teil mit der Linearität), die gesamte Indexmenge zu verwenden und
$a = \sum_{i \in I} \lambda^i a_i$
zu schreiben. Hierbei sind fast alle Koeffizienten $\lambda^i = 0$. Es gibt also nur endlich viele relevanten Summanden, sodass die Summe wohldefiniert ist.
\quoteoff
Ist es nicht ohnehin so, dass auch bei einem unendlich-dimensionalen Vektorraum eine Linearkombination eines Vektors immer endlich ist?
So steht es zumindest in unserem Skript:
Sei $V$ ein $F$-Vektorraum. Sei $S\subset V$ nichtleer. Gilt \[a=\sum\limits_{i=1}^n\lambda^ia_i\quad\text{für}\lambda^1,\ldots,\lambda^n\in F\quad\text{und }a_1,\ldots,a_n\in S\quad\text{und ein }n\in\mathbb{N},\] so sagen wir, dass $a$ als Linearkombination von Vektoren aus $S$ dargestellt ist.
(Beachte, dass die Summen in Linearkombinationen stets endlich sind.)
Wieso denkst du, wurde der Beweis dann so aufgezogen, dass über endliche Teilmengen J argumentiert wird?
\quoteon Zur ersten Frage: Tatsächlich ist die Definition unpräzise. Richtig wäre, $f(a) := \sum_{i \in I} \lambda^i b_i$ zu definieren. Aus dieser Definition folgt dann leicht $f(a_i)=b_i$.
Die zitierte Definition bei der Existenz von $f$ verschleiert das und suggeriert, dass $f(a_i)=b_i$ eine Voraussetzung ist. Es handelt sich aber um eine Folgerung aus der Definition von $f$. Dass man diese Eigenschaft haben muss, um den Beweis zu führen, ändert daran nichts. Bei der Eindeutigkeit hingegen werden $f(a_i)=b_i$ und $g(a_i)=b_i$ vorausgesetzt.
\quoteoff
Ahh okay ja stimmt, das ergibt auf diese Weise viel mehr Sinn!
Viele Grüße,
X3nion
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X3nion
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13
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Hallo Triceratops,
könntest du vielleicht nochmal auf meine noch offenen Fragen aus Beitrag No. 3 eingehen?
Ich wäre dir sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15
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Hallo zusammen,
könntest du, Triceratops, oder jemand anders kurz antworten, weshalb ihr denkt, dass der Beweis über eine beliebige endliche Teilmenge $J \subset I$ geführt wurde, und nicht über die gesamte Indexmenge I? Eine Linearkombination besteht ja aus nur endlich vielen Elementen.
Und wieso ist es besser, den Beweis über die gesamte Indexmenge zu führen, wie Triceratops in Beitrag No. 2 geschrieben hat?
Ich wäre euch sehr dankbar!
Danach würde ich das Thema abschließen.
Viele Grüße,
X3nion 🙂
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