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Kombinatorik & Graphentheorie » Inklusion-Exklusion » Siebformel Übung Beweis
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Universität/Hochschule J Siebformel Übung Beweis
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-09


Hallo,
wir hatten im Skript folgende Siebformel:


Als Aufgabe kam dann dazu:


In der Musterlösung heißt es nur: "Dass die Symbole $\cup$ und $\cap$ vertauscht werden können, ergibt sich aus den elementaren Rechenregeln". 🙄

Ich hatte es versucht richtig zu beweisen, bin aber nicht sicher, ob folgendes Sinn macht.

In der Aufgabe davor hatte ich bewiesen:
$P(A_1^c \cap \ldots \cap A_n^c)=1+\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(A_{i_1} \cup \ldots \cap A_{i_k})$

Das habe ich als erstes benutzt:
$P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i) = 1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\bigcap A_{i_k}^c)$

$=1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P((\bigcup A_{i_k})^c)$

$=1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega - \bigcup A_{i_k})$

$=1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} (P(\Omega) - P(\bigcup A_{i_k}))$

$=1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} (P(\Omega) - P(\bigcup A_{i_k}))$

$1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega) - \sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\bigcup A_{i_k})$.

Und hier hab ich nun ein Problem (wenn bis dahin überhaupt korrekt gefolgert wurde): Der Term $\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega)$ müsste zu $-1$ werden, dann hätte ich was ich will.

Aber $\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega)$ könnte ausgeschrieben für gerades k (etwa k=4) heißen:

$(-1)\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1 =0$, oder etwa nicht?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-09


2020-08-09 10:37 - curious_mind im Themenstart schreibt:
 

Aber $\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega)$ könnte ausgeschrieben für gerades k (etwa k=4) heißen:

$(-1)\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1 =0$, oder etwa nicht?

Moin, fuer $n=4$(!) hast du Recht.




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-09


2020-08-09 11:15 - JonyGo in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-08-09 11:00 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-08-09 10:37 - curious_mind im Themenstart schreibt:
 

Aber $\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega)$ könnte ausgeschrieben für gerades k (etwa k=4) heißen:

$(-1)\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1 =0$, oder etwa nicht?

Moin, fuer $n=4$(!) hast du Recht.



Toller Hinweis! Garbage in, garbage out.

Da JonyGo meine Antwort auf die gestellte Frage anscheinend nicht goutiert, setze ich mal etwas frueher an.
curious_mind, du schreibst: In der Aufgabe davor hatte ich bewiesen:

$P(A_1^c \cap \ldots \cap A_n^c)=1+\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(A_{i_1} \cup \ldots \cap A_{i_k})$

Das habe ich als erstes benutzt...


Die Formel kommt mir nicht koscher vor. Kannst du sie bitte mal ausschreiben fuer $n=1$?

vg Luis



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-09


2020-08-09 11:56 - JonyGo in Beitrag No. 4 schreibt:
Diese kryptischen Hinweise sind wieder nicht zum aushalten. Ohne den Schreibfehler $i_n$ statt $i_k$ kann die Formel stumpf nachgerechnet werden.

JonyGo, der Fehler zieht sich aber durch den Beweis und fuehrt so letztlich zum Misserfolg ...

vg Luis



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09


2020-08-09 11:56 - JonyGo in Beitrag No. 4 schreibt:
Diese kryptischen Hinweise sind wieder nicht zum aushalten. Ohne den Schreibfehler $i_n$ statt $i_k$ kann die Formel stumpf nachgerechnet werden.

Ja, sorry, es muss natürlich überall $\sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_k\leq n}$... heißen. Also so wie in der geg. Siebformel.

Ich sehe aber nicht, wie mir das hilft.

2020-08-09 11:50 - luis52 in Beitrag No. 3 schreibt:

$P(A_1^c \cap \ldots \cap A_n^c)=1+\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(A_{i_1} \cup \ldots \cap A_{i_k})$

Die Formel kommt mir nicht koscher vor. Kannst du sie bitte mal ausschreiben fuer $n=1$?

Auch hier ein Schreibfehler: Es sollte $1+\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(A_{i_1} \cup \ldots \cap A_{i_k})$
heißen, also die Summe läuft ab k=1.

Aber das habe ich ja in meinem Beweisversuch doch richtig (also mit k=1) geschrieben.

Für $n=1$ ist es $P(A_1^c)=1+(-1)\cdot P(A_1)= 1-P(A_1)$.

Stimmt doch?



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-09

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-09 12:20 - JonyGo in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-08-09 12:05 - luis52 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-08-09 11:56 - JonyGo in Beitrag No. 4 schreibt:
Diese kryptischen Hinweise sind wieder nicht zum aushalten. Ohne den Schreibfehler $i_n$ statt $i_k$ kann die Formel stumpf nachgerechnet werden.

JonyGo, der Fehler zieht sich aber durch den Beweis und fuehrt so letztlich zum Misserfolg ...

vg Luis

Wen interessiert das Geschwätz! Zwei qualitativ wertvolle Beträge mit nicht vorhandenem Inhalt kannst Du auch gleich auslassen. Dem TS dürfte klar sein, dass irgendwo einen Fehler produziert hat - denn mehr hast Du nicht beigetragen. Super Seniorvorbild!
Und das ist dann mal ein sinnvoller Beitrag?
Geh ins Bad und mecker dein Spiegelbild an, aber verschone uns hier mit deinem Geschwätz😡
Es wird nämlich schon der Ruf laut, solche Rotzlöffelbeiträge einfach zu löschen!


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-09


2020-08-09 13:02 - curious_mind in Beitrag No. 7 schreibt:
 
Für $n=1$ ist es $P(A_1^c)=1+(-1)\cdot P(A_1)= 1-P(A_1)$.

Stimmt doch?


Richtig. Es ging mir nur um das ominoese $k$.

Fassen wir mal zusammen: Du hast

$\color{red}{P(\bigcap_{i=1}^nA_i)}=\dots=1+\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k
\sum\limits_{1\leq i_1
<\ldots<i_k\leq n}
P(\Omega) -\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k \sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_k\leq n} P(\bigcup A_{i_k})$.

Was kannst du ueber $\sum\limits_{1\leq i_1
<\ldots<i_k\leq n}
P(\Omega)$ aussagen?

vg Luis

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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curious_mind
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2020-08-09 13:18 - luis52 in Beitrag No. 9 schreibt:
Was kannst du ueber $\sum\limits_{1\leq i_1
<\ldots<i_k\leq n}
P(\Omega)$ aussagen?

Tja, das ist ja genau mein Problem. Ich nehme an, weil in $P(\Omega)$ keine der Laufvariablen $i_k$ sind, kann sich da nichts ändern, sondern es wird einfach nur bei $P(\Omega)$ belassen.

Unsicher war ich mir aber bei der Frage, wie oft $P(\Omega)$ addiert wird. Das hängt m.E. von $k$ ab, und da ist wie gesagt das Problem, dass die ganze Formel nicht hinhaut, wenn $k$ gerade wäre...

Edit: Wieso hast du da ein rotes Plus, da hab ich ein Minus?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-09


$\sum\limits_{1\leq i_1
<\ldots<i_k\leq n}
P(\Omega)=\sum\limits_{1\leq i_1
<\ldots<i_k\leq n}1
$ gibt dir an, wieviel Moeglichkeiten es gibt, $k$ Elemente $i_1,\dots,i_k$ aus der Menge $\{1,\dots,n\}$ zu waehlen. Klingelt's?

Das Pluszeichen ist wieder weg.

vg Luis



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luis52
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2020-08-09 13:56 - JonyGo in Beitrag No. 12 schreibt:
  Und das ganz ohne Aufforderung von luis52, viertel oder einem anderen Senior an den TS die Hosen runterzulassen.


Ganz grosses Kino, nachdem die entscheidenden Tipps gegeben wurden ...

vg Luis



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curious_mind
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Ok, danke.

Hm, darauf, dass $\sum\limits_{1\leq i_1 <\ldots<i_n\leq n} P(\Omega)=\binom{n}{k}$ ist, wäre ich nicht gekommen.

Das Konzept $\binom{n}{k}$ war nie so meins. Aber schön, dass ich eigentlich alles richtig hatte bis auf den Schluss!

@JonyGo: Ich verstehe deine Ansicht schon, im Prinzip wirkt das manchmal wie ein absichtliches Zappelnlassen und an der Nase Herumführen. Und wer das tatsächlich aus Überheblichkeit so macht, der benötigt eher eine Portion Mitleid und dann hilft mir eben der Nächste. Aber ich unterstelle da erst mal immer, dass diejenigen es gut mit mir meinen.
Du wirst sehen, es ist hier im Forum generell üblich nicht sofort aufzulösen. Wenn der TE nach einigen Hinweisen selbst draufkommt, ist der Lerneffekt größer. Wenn er nicht drauf kommt, dann kriegt er wenigstens ein paar Gratisstunden Frustrationstoleranztraining - beim Mathestudium eine besonders essentielle Fähigkeit! :-D
Ist immer nur eine Frage, wie lange man zappeln lässt. Zudem muss der Antwortende abschätzen, welches Vorwissen / Grundverständnis vorliegt, wenn er Tipps gibt, sonst können diese vielleicht gar nicht fruchten. Ist nicht immer einfach. Es gibt sicher auch Viele, die damit nicht klarkommen und aufgeben. Die haben es dann schwer, auch im Studium.
In der Regel bin ich mit der Dauer des Zappelnmüssens hier zufrieden, weil hier rege gepostet wird. Kurz vor einer Klausur / unter Zeitdruck wäre das anders, dann würde ich die Info aber dazuposten.

Also, lasst Euch die Hitzewelle nicht so zu Kopp steigen. Alles gut jetzt.




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