Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Extremwerte im Mehrdimensionalen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Extremwerte im Mehrdimensionalen
EuskiPeuski712
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-09


Hallo Leute,

ich bereite mich aktuell auf eine Prüfung vor und versuche dabei zu verstehen, wie man Extremwerte bei Funktionen im Mehrdimensionalen bestimmt.

Das Verfahren ist erstmal klar. Im Eindimensionalen leuchtet das Prinzip ein, da ich ja hier mithilfe von Monotonie argumentieren kann. Jedoch fehlt mir dieses Argument ja im Mehrdimensionalen. Daher meine Fragen:

(1) Zur Bestimmung eines kritischen Punktes findet man alle Punkte, sodass der Gradient von f 0 ist. Kann ich mir das damit erklären, dass ich einen Punkt suche, an dem der stärkste Anstieg gleich 0 (also in dem Sinne kein Anstieg) vorhanden ist ?

(2) Wenn ich einen kritischen Punkt gefunden habe, überprüfe ich diesen mithilfe der zweiten Ableitung, also der Hesse-Matrix. Wenn diese Matrix in jenem Punkt positiv definit ist, weiß ich, dass der Punkt ein lokales Minimum ist. Wieso ? Was sagt die Definitheit einer Matrix über einen Punkt und dessen Stellung als Extrempunkt aus ?

Ich hoffe, ich konnte mein Problem einigermaßen klarstellen ?
Ich habe mich schon überall versucht zu informieren, leider habe ich keine passenden Antworten gefunden.

Ich würde mich über Anregungen freuen :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4648
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-09


Hallo,

mal zwei Punkte, ohne Anspruch auf Vollständigkeit.

2020-08-09 13:30 - EuskiPeuski712 im Themenstart schreibt:
(1) Zur Bestimmung eines kritischen Punktes findet man alle Punkte, sodass der Gradient von f 0 ist. Kann ich mir das damit erklären, dass ich einen Punkt suche, an dem der stärkste Anstieg gleich 0 (also in dem Sinne kein Anstieg) vorhanden ist ?

Genau darum geht es.

2020-08-09 13:30 - EuskiPeuski712 im Themenstart schreibt:
(2) Wenn ich einen kritischen Punkt gefunden habe, überprüfe ich diesen mithilfe der zweiten Ableitung, also der Hesse-Matrix. Wenn diese Matrix in jenem Punkt positiv definit ist, weiß ich, dass der Punkt ein lokales Minimum ist. Wieso ? Was sagt die Definitheit einer Matrix über einen Punkt und dessen Stellung als Extrempunkt aus ?

Die Definitheit der Hessematrix sagt etwas über die Krümmungseigenschaft der Funktion aus. Bei positiver Definitheit ist die Funktion konvex, bei negativer konkav. Also kann man in diesen beiden Fällen analog wie im eindimensionalen auf die Art eines Extremums schließen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
EuskiPeuski712
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09


Ah okay, vielen lieben Dank. Dass die Definitheit einer Matrix bestimmt, ob eine Funktion konvex oder konkav ist, wusste ich leider nicht, wobei es ja zum Verständnis meiner Meinung nach wichtig ist. Daher vielen lieben Dank :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
EuskiPeuski712 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]