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Universität/Hochschule Frei erzeugte R-Moduln
chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hallo, ich habe Fragen zur Lösung einer Aufgabe, da ich manche Schritte nicht verstehe. Es geht um "freie $R$ - Module" :-). ich bin manchen Stellen extrem verwirrt.

Die Aufgabe ist folgende:

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Beweisen  oder widerlegen Sie:

a) $(\mathbb{Z}_{9}, +)$ ist frei als $\mathbb{Z}$ - Modul
b) $(9\mathbb{Z}, +)$ ist frei als $\mathbb{Z}$ - Modul


In der Vorlesung haben wir dafür folgende Definitionen eingeführt:

Endlich erzeugter $R$ - Modul (Definition 1)
_____________________________________________

Sei $M$ ein $R$ - Modul.
$M$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn ein surjektiver Modulhomomorphismus $f: R^{n} \twoheadrightarrow M$ existiert.

Freier, endlich erzeugter $R$ - Modul (Definition 2)
_____________________________________________________

Sei $M$ ein endlich erzeugter $R$ - Modul.
$M$ heißt genau dann frei, wenn ein Isomorphismus $M \cong R^{n}$ existiert. Insbesondere bilden die Bilder $m_{i}$ der $e_{i}$ dann eine Basis von $M$, i.e. jedes Element von $M$ lässt sich eindeutig als $R$- Linearkombination der $m_{i}$ darstellen.

Die Lösung dieser Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

Zu a)
_____

$(\mathbb{Z}_{9}, +)$ ist nicht frei als $\mathbb{Z}$ - Modul.
Da $\mathbb{Z}_{9}$ eine abelsche Gruppe ist, ist es ein $\mathbb{Z}$ - Modul. Außerdem ist $\mathbb{Z}{9}$ endlich erzeugt durch $\mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}{9}$. Aber: Für alle $x \in \mathbb{Z}{9}$ gilt $9x = 0 = 0x$. Daraus folgt, dass $\{ x \}$ linear abhängig für jedes $x \in \mathbb{Z}_{9}$.
$\Rightarrow$ Die leere Menge ist die einzige linear unabhängige Teilmenge von $\mathbb{Z}_{9}$.
$\Rightarrow$ hat keine basis, ist also auch nicht frei.

____________________________________________________________________
Hier verstehe ich nicht, warum man durch $\mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}_{9}$ gezeigt hat, dass $(\mathbb{Z}_{9}, +)$ endlich erzeugt ist. Was soll dieser Doppelpfeil überhaupt bedeuten ? Wie sieht die konkrete Abbildungsvorschrift dieser Abbildung aus ? Außerdem bildet die Abbildung nicht nach $\mathbb{Z}_{9}$ ab, sondern nur nach $\mathbb{Z}$, da $9x$ keine Äquivalenzklasse ist.

$(\mathbb{Z}_{9}, +)$ ist endlich erzeugt, wenn sie sich durch eine endliche Teilmenge erzeugen lässt. Und die Menge $M := \{ [1]_{9} \}$ erzeugt $(\mathbb{Z}_{9}, +)$. Das wäre mein Argument. Ich verstehe aber das Argument mit der Abbildung $\mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}_{9}$  aus der Musterlösung nicht. Kann mir das jemand erklären ?

Und das mit der Basis hätte ich so erklärt:
Angenommen, $(\mathbb{Z}_{9}, +)$ hätte eine Basis $B := \{ [x_{1}], \ldots, [x_{k}] \}$. Dann müsste $\langle B \rangle_{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}_{9}$ gelten und aus $\sum\limits_{i = 1}^{k} z_{i} [x_{k}] = 0$ folgen, dass $z = 0$ ist. Aber das ist nicht richtig, denn $z = 9$ erfüllt die Gleichung $\sum\limits_{i = 1}^{k} z_{i} [x_{k}] = 0$ auch. Daher kann $\mathbb{Z}_{9}$ keine Basis besitzen.
____________________________________________________________________

Zu b)
___

$(9\mathbb{Z}, +)$ ist frei als $\mathbb{Z}$ - Modul.
Da $ 9\mathbb{Z}$ eine abelsche Gruppe ist, ist es ein $\mathbb{Z}$ - Modul. Außerdem ist $ 9\mathbb{Z}$ endlich erzeugt durch $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{9}, x \mapsto 9x$. Dies ist ein injektiver und surjektiver $\mathbb{Z}$ - Modulhomomorphismus.
$\Rightarrow 9 \mathbb{Z}$ ist frei mit Basis $(9)$.
____________________________________________________________________
Hier verstehe ich wieder nicht, warum man durch $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{9}, x \mapsto 9x$ gezeigt hat, dass $9\mathbb{Z}$ endlich erzeugt ist. Die Abbildung bildet doch nicht einmal nach $\mathbb{Z}_{9}$ ab, da $9x$ keine Äquivalenzklasse ist.
Oder meint man damit die Abbildung  $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{9}, x \mapsto [9]x$ ? Aber selbst wenn, dann stimmt doch etwas nicht. Man müsste eigentlich eine Abbildung von $\mathbb{Z}$ nach $9\mathbb{Z}$ nehmen (laut Definition), um zu zeigen, dass $\mathbb{Z}_{9}$ endlich erzeugt ist.
Warum ist das hier nicht so ?
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Ich würde mich über eine Antwort freuen.

Freundliche Grüße,

Chico



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12


a) Der Pfeil $\twoheadrightarrow$ bedeutet (meistens) "surjektiver Morphismus" oder "Epimorphismus". Wenn nichts Weiteres gesagt wird, ist damit die kanonische Projektion gemeint. Die Abbildung ist also gegeben durch $1 \mapsto \overline{1}$ (man rechnet also bloß modulo $9$). Da $1$ den Modul $\mathbb{Z}$ erzeugt, muss das Bild von $1$ bzgl. des surjektiven Modulhomomorhpismus auch $\mathbb{Z}/9 \mathbb{Z}$ erzeugen.

Dein Argument ist in Ordnung. Es ist aber eigentlich nur eine Umschreibung der vorgeschlagenen Lösung.

b) Es ist ein Tippfehler, die Abbildung ist $\phi : \mathbb{Z} \to 9 \mathbb{Z}$.


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-12


Der Plural von Modul ist Moduln (in der Algebra).



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chicolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


2020-08-12 07:16 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
a) Der Pfeil $\twoheadrightarrow$ bedeutet (meistens) "surjektiver Morphismus" oder "Epimorphismus". Wenn nichts Weiteres gesagt wird, ist damit die kanonische Projektion gemeint. Die Abbildung ist also gegeben durch $1 \mapsto \overline{1}$ (man rechnet also bloß modulo $9$). Da $1$ den Modul $\mathbb{Z}$ erzeugt, muss das Bild von $1$ bzgl. des surjektiven Modulhomomorhpismus auch $\mathbb{Z}/9 \mathbb{Z}$ erzeugen.


Ah ok, jetzt weiß ich Bescheid. Das heißt, wie betrachten die Abbildung $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{9}, x \mapsto [x]_{9}$ ?$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist trivialerweise ein $\mathbb{Z}$ -Modul und $(\mathbb{Z}_{9}, +, \cdot)$ auch. Man sieht auch schnell, dass $f$ surjektiv und ein Homomorphismus ist.

Was gewährleistet eigentlich die Eigenschaft, dass das Bild des Erzeugers des Definitionsbereichs der Erzeuger des Wertebereichs ist ? Die Homomorphismuseigenschaften ?


2020-08-12 07:16 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:


b) Es ist ein Tippfehler, die Abbildung ist $\phi : \mathbb{Z} \to 9 \mathbb{Z}$.

Ach so, dann sollte die b) jetzt auch klar sein. Eine Basis von $9 \mathbb{Z}$ ist $B := \{  9\}$. Könnte aber auch genauso gut $B' := \{  - 9\}$ sein.


2020-08-12 07:37 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
Der Plural von Modul ist Moduln (in der Algebra).

Habe ich etwa Module geschrieben ? :-) Falls ja, dann weiß ich es jetzt besser :-)

Ich danke euch beiden für die Hilfe. Freue mich auf eine Rückmeldung!

lg, Chico



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-12


Ja zu allen Fragen, die du gestellt hast :-)


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