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Strukturen und Algebra » Moduln » Exakte Sequenz
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Universität/Hochschule Exakte Sequenz
Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Ich habe folgende Definition vorliegen.



Ich habe die Definition als Bild hochgeladen, weil ich die Kette von Abbildung nicht mit Latex darstellen kann (also ich weiß nicht, wie das geht).

Ich tue mich schwer damit, diese Definition zu verstehen. Hier ist von einer "exakten Sequenz" die Rede, aber wir haben nirgends den Begriff der "Sequenz" definiert. Wie ist eine "Sequenz" definiert ?

Und was genau soll diese Ketten von Abbildung bedeuten ? Was will man mir damit sagen ? Ich stehe auf dem Schlauch, weil ich dazu eine Aufgabe bearbeiten muss, aber mir die Definition nicht klar ist.

Ich hoffe, mich kann jemand aufklären.

mfg, Benni



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12


Die Schreibweise $A \to B \to C$ ist eine Abkürzung für die beiden Morphismen $A \to B$ und $B \to C$, ähnlich deine längere Kette. Eine Sequenz ist in diesem Fall bloß eine solche Kette von Morphismen (man kann es als direkte Summe von Moduln definieren, aber ich denke, das könnte vorerst eher verwirrend als hilfreich sein).

Ein wenig konkreter hast du gegeben eine Folge $(M_i)_i$ an $R$-Moduln und eine Folge an Modulhomomorphismen $\phi_i : M_i \to M_{i+1}$. Die Definition beschreibt, wann diese Struktur exakt heißt.

Die Intuition dahinter kommt aus der algebraischen Topologie, welche du verstehen wirst, wenn du (Ko-)Homologie studierst. Zunächst kann es aber auch helfen spezielle Beispiele kurzer exakter Sequenzen (google diese Definition, wenn du sie nicht kennst) zu betrachten.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-12


Moin, ich mag mich irren, aber angenommen, es sind die Moduln $M_1,M_2,\dots,M_{n+1}$ und die Abbbildungen $\varphi_i:M_i\to M_{i+1}$, $i=1,\dots,n$, gegeben. Dann kann man sich die Sequenz als Tupel $(M_1,M_2,\dots,M_{n+1},\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ vorstellen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-13


Sequenz ist das denglische Wort für Folge. Man kann auch von exakten Folgen sprechen. Eine Folge von Modulhomomorphismen ist der der Spezialfall des allgemein bekannten Begriffs "Folge von Elementen von X", wobei X hier die Klasse der Modulhomomorphismen ist, wobei aber jeweils der Zielmodul der Startmodul des nächsten Folgeglieds ist. Das sieht dann also so aus (wenn wir $\IZ$ als Indexmenge nehmen; ich lasse die Beschriftungen einmal weg)

$\cdots \to M_{-2} \to M_{-1} \to M_0 \to M_1 \to M_2 \to \cdots$

Um den Begriff der Exaktheit zu motivieren, braucht man noch einen anderen Begriff: Wir nennen die obige Folge einen Komplex, wenn die Komposition von je zwei aufeinanderfolgenden Homomorphismen $=0$ ist. Das bedeutet:

Das Bild von $M_{i-1} \to M_i$ ist im Kern von $M_i \to M_{i+1}$ enthalten.

Beachte, dass beides Untermoduln von $M_i$ sind.

Wie Kezer bereits gesagt hat, entstehen solche Komplexe vor allem in der algebraischen Topologie und damit verwandten Gebieten. Vielleicht ist dir in der Analysis auch schon der de Rham Komplex einer glatten Mannigfaltigkeit über den Weg gelaufen. Die fundamentale Gleichung $d^2=0$ für das totale Differential bedeutet gerade, dass es sich um einen Komplex handelt.

Es ist dann interessant, herauszufinden, wie groß die Abweichung zwischen diesen beiden Untermoduln von $M_i$ ist, weil sie oftmals auch eine geometrische Bedeutung hat. Das führt gerade zum Begriff der Homologie.

Jedenfalls ist der best anzunehmende Fall natürlich, dass die Abweichung verschwindet. Sprich, wenn die beiden Untermoduln übereinstimmen. Dann spricht man von einer exakten Folge (oder auch einem azyklischen Komplex). Die "Exaktheit" lässt sich hier sprachlich damit begründen, dass es keinen "Fehler" zwischen den beiden Untermoduln gibt. Sprich:

Das Bild von $M_{i-1} \to M_i$ ist identisch mit dem Kern von $M_i \to M_{i+1}$.

Das erste Beispiel für eine exakte Folge, was du dir klarmachen kannst: Sei $N$ ein Untermodul eines Moduls $M$. Dann hat man eine (kurze) exakte Folge

$0 \to N \to M \to M/N \to 0.$

Dabei hat man links und rechts den Nullmodul $0$ stehen, theoretisch sogar unendlich oft nach links und rechts fortgesetzt, aber da passiert sowieso nichts, sodass man es nicht hinschreibt. Die Abbildung $N \to M$ ist die Inklusion, die Abbildung $M \to M/N$ ist die kanonische Projektion.

Du kannst dir auch einmal klarmachen, dass in der obigen Situation für einen Untermodul $N' \subseteq N$ die Folge

$0 \to N' \to M \to M/N \to 0$

immer ein Komplex ist, aber genau dann exakt ist, wenn $N' = N$.

Weil du gesagt hast, dass du nicht weißt, wie du eine beschriftete Folge mit LaTeX darstellst: A \xrightarrow{f} B erzeugt zum Beispiel $A \xrightarrow{f} B$. Das ist eine Möglichkeit von vielen, bei komplizierteren Diagrammen sollte man das Paket tikzcd verwenden.



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