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 Verschachtelte Wurzeln vereinfachen |
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MasterWizz
Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 163
 |  Themenstart: 2020-08-12
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Hey Leute,
hat zufällig jemand eine Idee, wie man verschachtelte Wurzeln vereinfachen kann?
Beispiel: \(\sqrt[3]{10+\sqrt{108}} = 1 + \sqrt{3}\)
Wie kann man da analytisch drauf kommen, wenn man das Ergebnis nicht weiß?
Meine Idee: Mit \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) hab ich bereits den Ansatz \(10+\sqrt{3}\cdot6 = \left(a+\sqrt{3}\cdot b\right)^3\) probiert, was mich aber nur auf eine Gleichung 6. Grades geführt hat, also wahrscheinlich nicht der richtige Weg ist.
Was denkt ihr?
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 3214
Wohnort: Oldenburg , Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12
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hast du mal versucht, die Gleichung zu potenzieren ?
Gruss Dietmar
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MasterWizz
Aktiv
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 163
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12
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Ich habe es mit der Gleichung \(x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}\) probiert. Hab sie hoch 3 gerechnet und umgestellt, dann komme ich zurück zur ursprünglichen Gleichung \(x^3+6x-20=0\). Dann wäre die ganze Arbeit umsonst gewesen. Oder hast du beim Potenzieren einen anderen Hintergedanken?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10917
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das ist natürlich immer eine ergebnisoffene Angelegenheit. Kennt man das Ergebnis, dann kann man durch Probieren auf folgendes kommen:
\[\ba
\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}&=\sqrt[3]{10+\sqrt{36\cdot 3}}\\
\\
&=\sqrt[3]{1+9+6\sqrt{3}}\\
\\
&=\sqrt[3]{1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}}\\
\\
&=\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{3}\right)^3}\\
\\
&=1+\sqrt{3}
\ea\]
Wenn ich jedoch ganz ehrlich bin, habe ich zunächsteinmal \(\left(1+\sqrt{3}\right)^3\) ausgerechnet. 😉
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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MasterWizz
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Mitteilungen: 163
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12
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Wow danke dir, gibts dafür eine Regel oder ein Schema wie man vorgehen kann? Ich möchte das gern im Allgemeinen verwenden, um mit der Formel von Cardano exakt die Nullstellen von Polynomen vom Grad 3 zu lösen. Da kommen nur leider ziemlich oft solche Ausdrücke vor und man kennt ja im Allgemeinen die Vereinfachung nicht.
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-12
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Auf MSE/1186619 könnten ein paar nützliche Hinweise dabei sein. Laut Wikipedia ist eine solche Vereinfachung im Allgemeinen aber schwer.
\quoteon(2020-08-12 17:59 - MasterWizz im Themenstart)
Meine Idee: Mit \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) hab ich bereits den Ansatz \(10+\sqrt{3}\cdot6 = \left(a+\sqrt{3}\cdot b\right)^3\) probiert, was mich aber nur auf eine Gleichung 6. Grades geführt hat, also wahrscheinlich nicht der richtige Weg ist.
\quoteoff
Das ist übrigens eine Gleichung 3. Grades.
\quoteon(2020-08-12 18:22 - MasterWizz in Beitrag No. 2)
Ich habe es mit der Gleichung \(x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}}\) probiert. Hab sie hoch 3 gerechnet und umgestellt, dann komme ich zurück zur ursprünglichen Gleichung \(x^3+6x-20=0\). Dann wäre die ganze Arbeit umsonst gewesen. Oder hast du beim Potenzieren einen anderen Hintergedanken?
\quoteoff
So hat Dietmar es nicht gemeint. Wenn du die Gleichung zur dritten Potenz nimmst, dann verschwindet $\sqrt[3]{}$. Außerdem ist es eine Äquivalenzumformung, du musst also die Gleichung nur so lange manipulieren bis du sagen kannst, dass es tatsächlich eine Gleichung ist.
Dieser Ansatz funktioniert aber natürlich nur dann, wenn man die Lösung bereits kennt.
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MasterWizz
Aktiv
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 163
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13
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Hey vielen vielen Dank für deine Hilfe!! Das ist genau was ich gesucht hab. Ich schaus mir gründlich an und weiß zur Not, wo ich weiter suchen kann! DANKE :)
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ThomasRichard
Senior
Dabei seit: 08.04.2010
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Wohnort: Aachen
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-14
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Hallo,
leider habe ich diese Diskussion erst jetzt gesehen, aber vielleicht ist noch ein Literaturhinweis angebracht:
Computer Algebra Systems - A Practical Guide
Edited by Michael J. Wester
Wiley 1999
Homepage: hier
Schon ein wenig älter, aber es enthält ein ganzes Kapitel (ca. 12 Seiten):
4. Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting
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AlphaSigma
Senior 
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 453
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-06
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\quoteon(2020-08-14 16:19 - ThomasRichard in Beitrag No. 7)
Hallo,
leider habe ich diese Diskussion erst jetzt gesehen, aber vielleicht ist noch ein Literaturhinweis angebracht:
Computer Algebra Systems - A Practical Guide
Edited by Michael J. Wester
Wiley 1999
Homepage: hier
Schon ein wenig älter, aber es enthält ein ganzes Kapitel (ca. 12 Seiten):
4. Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting
\quoteoff
Hallo,
ich habe diese Diskussion noch viel später entdeckt. Trotzdem hier noch ein Link auf 4. Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting (pdf) von David J. Jeffrey and Albert D. Rich und einen anderen Artikel zum gleichen Thema On the denesting of nested square roots (pdf) von Eleftherios Gkioulekas.
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ThomasRichard
Senior
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 472
Wohnort: Aachen
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-06
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\quoteon(2023-06-06 10:08 - AlphaSigma in Beitrag No. 8)
[...] Artikel zum gleichen Thema On the denesting of nested square roots (pdf) von Eleftherios Gkioulekas.
\quoteoff
Der Artikel ist auch gut, enthält aber (mindestens) einen Flüchtigkeitsfehler: im Beispiel 3.1 heißt es:
\
sqrt(25) + sqrt(12) = 5 + 4*sqrt(3)
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AlphaSigma
Senior
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 453
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-06-06
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