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| Autor |
  Lösung Ungleichung, Bestimmung Infimum, Supremum, Maximum, Minimum |
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rtu
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 36
 |  Themenstart: 2020-09-08
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Hallo,
habe ich folgende Aufgabe richtig gelöst?
Aufgabenstellung: Ungleichung lösen, die Menge der x als Intervall in Abhängigkeit von a angeben. Infimum, Supremum, Maximum, Minimum bestimmen.
\( ax <= a+x < 4a(x^2)+x \), a>0
Ich habe die Ungleichung aufgeteilt und gelöst:
1)
\( ax <= a+x \)
\( x <= \frac{a+x}{a} \)
2)
\( a+x < 4a(x^2)+x \)
...
\( \frac{1}{2} < x \)
Also ergibt sich:
\( \frac{1}{2} < x <= \frac{a+x}{a} \)
Infimum: 1/2
Minimum: Infimum ist kein Minimum, da es nicht angenommen wird.
Supremum: (a+x)/a
Maximum: Supremum ist Maximum, da es angenommen wird.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
nein, da liegt noch viel im argen.
Für die erste Ungleichung
\[ax\le a+x\]
musst du eine Fallunterscheidung machen. Das hast du deshalb nicht gesehen, weil du die Ungleichung ja gar nicht nach x aufgelöst hast. Mache das einmal, dann siehst du, dass es hier drei unterschiedliche Fälle gibt.
Die Lösung der zweiten Ungleichung ist auch falsch. Was folgt denn aus
\[x^2>\frac{1}{4}\]
?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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rtu
Wenig Aktiv
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08
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Hallo,
Nachtrag: Ich habe vergessen, folgende Bedingung zu erwähnen: a>0
1)
ax <= a+x
...
x <= a/(a-1)
Daraus ergeben sich drei Fälle:
i) a=1: Teilen durch 0, nicht definiert
ii) a<1 , a>0: daraus folgt: x < 0
iii) a>1: daraus folgt: x > 0
2)
a+x < 4a(x^2)+x
...
1/4 < x^2 | Wurzel ziehen
+-1/4 < +-x
Ist das bis zu diesem Punkt richtig?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-09-08 13:06 - rtu in Beitrag No. 2)
Nachtrag: Ich habe vergessen, folgende Bedingung zu erwähnen: a>0
\quoteoff
Ok, das vereinfacht die Sache schonmal gehörig.
\quoteon(2020-09-08 13:06 - rtu in Beitrag No. 2)
1)
ax <= a+x
...
x <= a/(a-1)
Daraus ergeben sich drei Fälle:
\quoteoff
Falsch. Diese Umformung darf man so nur für den Fall \(a>1\) machen. Deine Fallunterscheidung muss also früher ansetzen.
\quoteon(2020-09-08 13:06 - rtu in Beitrag No. 2)
i) a=1: Teilen durch 0, nicht definiert
\quoteoff
Du musst mehr nachdenken über das, was du tust. Es geht immer noch um eine Ungleichung. Im Fall \(a=1\) lautet diese:
\[x\le 1+x\]
und ist wahr für alle \(x\in\IR\).
\quoteon(2020-09-08 13:06 - rtu in Beitrag No. 2)
ii) a<1 , a>0: daraus folgt: x < 0
\quoteoff
Ab hier wird es jetzt ehrlich gesagt sinnfrei. Für den Fall \(a>1\) lautet die aufgelöste Ungleichung wie oben:
\[x\le\frac{a}{a-1}\]
Im Fall \(a<1\) ist es einfach umgekehrt, da der Nenner jetzt negativ ist und man durch diesen Nenner beim Umformen ja dividiert:
\[x\ge\frac{a}{a-1}\]
\quoteon(2020-09-08 13:06 - rtu in Beitrag No. 2)
2)
a+x < 4a(x^2)+x
...
1/4 < x^2 | Wurzel ziehen
+-1/4 < +-x
Ist das bis zu diesem Punkt richtig?
\quoteoff
Das Plusminuszeichen ist bei Ungleichungen nicht wirklich hilfreich. Es gilt
\[x^2>\frac{1}{4}\quad\Leftrightarrow\quad\left|x\right|>\frac{1}{2}\]
Jetzt musst du das alles einmal sauber zu einer bzw. zu drei Lösungsmengen (für die einzelnen Fälle) zusammenschreiben. Versuche einmal, mehr darauf zu achten, dass das, was du dir überlegst, nachher auch auf dem Papier steht. Dabei hapert es nämlich noch ziemlich, wie mir scheint...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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rtu
Wenig Aktiv
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 36
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08
|
Hallo,
ok, also sind die einzelnen Lösungen:
1) \( \frac{a}{a-1} <= x <= \frac{a}{a-1} \), also: \( x= \frac{a}{a-1} \)
2) \( x <= 1+x \)
3) \( |x| > \frac{1}{2} \)
richtig?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-09-08 14:46 - rtu in Beitrag No. 4)
Hallo,
ok, also sind die einzelnen Lösungen:
1) \( \frac{a}{a-1} <= x <= \frac{a}{a-1} \), also: \( x= \frac{a}{a-1} \)
2) \( x <= 1+x \)
3) \( |x| > \frac{1}{2} \)
richtig?
\quoteoff
Nein. Ich verstehe hier noch nicht einmal ansatzweise, was du hier gemacht hast bzw. was du meinst.
Also konkret: das da oben hat absolut nichts mit der Aufgabenstellung zu tun, sondern ist völlig sinnfrei.
Die Aufgabenstellung verlangt zuerst, die Lösungsmenge der Ungleichungskette in Abhängigkeit von a anzugeben. Dazu musst du im Prinzip die drei Fälle für die linke Ungleichung getrennt untersuchen. Insbesondere musst du dabei den Fall \(a<1\) noch genauer unter die Lupe nehmen, da macht nämlich die rechte Ungleichung eventuell Probleme.
Ich würde dich aber bitten, hier nicht blindlings jede Idee ungeprüft zu posten, sondern jeweils mit den gegebenen Informationen einen seriösen Versuch zu machen, einen Schritt weiterzukommen bzw. die Aufgabe zu lösen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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rtu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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