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  Punktweises Auswerten von Limites in Funktorkategorien |
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Kezer
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 |  Themenstart: 2020-09-08
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Hi,
seien $\mathbf{I}, \mathbf{C}$ kleine Kategorien und $\mathscr{D}$ eine lokal kleine Kategorie. Bekanntlich kann man Limites von Diagrammen $D : \mathbf{I} \to \operatorname{Fun}(\mathbf{C}, \mathscr{D})$ punktweise auswerten, wenn für alle $A \in \mathbf{C}$ das Diagramm $D(-)(A):\mathbf{I} \to \mathscr{D}$ ein Limes hat (siehe z.B. [Leinster, Thm 6.2.5, S. 149]).
Ich habe mich gefragt, ob die Rückrichtung gilt. Konkret habe ich versucht das leichteste Beispiel zu untersuchen:
Seien $\mathscr{C}, \mathscr{D}$ Kategorien und $T : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ ein terminales Objekt in $\operatorname{Fun}(\mathscr{C}, \mathscr{D})$. Ist $T(A)$ ein terminales Objekt in $\mathscr{D}$ für alle $A \in \mathscr{C}$?
Für diskrete Kategorien $\mathscr{C}$ kann ich beweisen, dass die Aussage erfüllt ist. Red_ hat einen Beweis für $\mathscr{D} = \mathbf{Set}$ gegeben. Gilt die Aussage auch allgemein? Gegenbeispiele konnten wir (noch) nicht finden, ein allgemeines Argument aber auch nicht.
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-08
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Die Aussage gilt natürlich, wenn $\mathscr{D}$ ein terminales Objekt besitzt. Das schließt den Fall $\mathbf{Set}$ mit ein. Ansonsten sehe ich eher schwarz und werde später ein Gegenbeispiel posten.
Ein Beispiel für einen Limes in $\mathrm{Fun}(\mathscr{C},\mathscr{D})$, der nicht punktweise definiert ist, gibt Kelly in seinem Buch über angereicherte Kategorien (Link) in Abschnitt 3.3. an.
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Kezer
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-08
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Oh stimmt, das hatte ich irgendwie übersehen. Red_s Beweis war trotzdem ziemlich schön: Sei $T : \mathscr{C} \to \mathbf{Set}$ terminal und $A \in \mathscr{C}$, dann ist nach dem Yoneda-Lemma $|T(A)| = |\operatorname{Nat}(H^A,T)| = 1$.
Danke für deine Hinweise! Ich vermute auch, dass die Aussage allgemein nicht stimmt und bin gespannt auf dein Gegenbeispiel.
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-08
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Beim Suchen nach Gegenbeispielen bin ich auf eine Reihe von positiven Resultaten gestoßen. Zum Beispiel:
Angenommen, $\lim(T) \in \mathscr{D}$ existiert. Dann gilt die Aussage. Denn $\lim(T)$ ist ein terminales Objekt: $\hom(B,\lim(T)) = \hom(\Delta(B),T) = \{\star\}$.
Zum Beispiel existiert $\lim(T)$ auf jeden Fall, wenn $\mathscr{C}$ ein initiales Objekt besitzt.
Ähnlich: Es gibt immer mindestens einen Morphismus $B \to T(A)$ (weil es einen Morphismus $\Delta(B) \to T$ gibt). Insbesondere gilt die Aussage, wenn $\mathscr{D}$ dünn ist.
Man kann allgemein zeigen: In einem Produkt von Kategorien $\prod_{i \in I} \mathcal{D}_i$ ist genau dann $(X_i)_{i \in I}$ terminal, wenn jedes $X_i$ terminal ist. Daraus folgt insbesondere die Aussage, wenn $\mathscr{C}$ diskret ist.
Ich vermute, dass die Aussage für $\mathscr{C} = (\bullet \rightrightarrows \bullet)$ nicht gilt.
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Triceratops
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-08
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Wenn $\mathscr{D}$ Kopotenzen hat (also zum Beispiel, wenn Koprodukte existieren), dann gilt die Aussage:
Wir bezeichnen die Kopotenzen mit $\otimes : \mathbf{Set} \times \mathscr{D} \to \mathscr{D}$. Für $A \in \mathscr{C}$ und $B \in \mathscr{D}$ betrachte nun den Funktor $\mathrm{Hom}(A,-) \otimes B : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$. Eine Verallgemeinerung des Yoneda-Lemmas besagt
$\mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(A,-) \otimes B,T) \cong \mathrm{Hom}(B,T(A)).$
(Zum Beweis wende man das gewöhnliche Yoneda-Lemma auf den Funktor $\mathrm{Hom}(B,T(-))$ an.)
Weil $T$ terminal ist, folgt hiermit, dass auch jeweils $T(A)$ terminal ist.
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-09
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\quoteon(2020-09-08 21:55 - Triceratops in Beitrag No. 3)
Ich vermute, dass die Aussage für $\mathscr{C} = (\bullet \rightrightarrows \bullet)$ nicht gilt.
\quoteoff
Doch, sie gilt. 🤯
Sei $(f,g : X \rightrightarrows Y)$ terminal in $\mathscr{D}^{\bullet \rightrightarrows \bullet}$. Es gibt genau einen Morphismus $(\mathrm{id},\mathrm{id}: Y \rightrightarrows Y) \to (f,g : X \rightrightarrows Y)$, und daher genau einen Morphismus $h : Y \to X$ mit
$(1) \qquad f h = g h.$
Es gibt genau einen Morphismus $(h,h : Y \rightrightarrows X) \to (f,g : X \rightrightarrows Y)$, also genau ein Paar $(\alpha : Y \to X, \beta : X \to Y)$ mit $\beta h = f \alpha$ und $\beta h = g \alpha$. Wegen (1) erfüllen sowohl $(h,f)$ als auch $(h,g)$ diese Eigenschaft. Daraus folgt
$(2) \qquad f = g$.
Jetzt folgt, dass $X$ terminal ist: Sei $A$ beliebiges Objekt in $\mathscr{D}$. Es gibt genau einen Morphismus $(\mathrm{id},\mathrm{id}: A \rightrightarrows A) \to (f,f : X \rightrightarrows Y)$, also genau einen Morphismus $\alpha : A \to X$.
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Triceratops
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-09
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Was man sich einmal anschauen sollte, ist der Fall dass $\mathscr{C}$ genau ein Objekt hat, also letztlich ein Monoid $G$ ist. Funktoren $\mathscr{C} \to \mathscr{D}$ sind dann Objekte in $\mathscr{C}$ mit einer $G$-Wirkung, kurz $G$-Objekt.
Wenn nun $G$ kommutativ ist, dann gilt die Aussage: Denn sei $ X$ ein terminales $G$-Objekt. Insbesondere hat $X$ genau einen $G$-Endomorphismus. Für jedes $g \in G$ ist dann $g : X \to X$ ein $G$-Endomorphismus, also gleich der Identität. Also $X$ trägt die triviale Wirkung. Für $B \in \mathscr{D}$ können wir nun $B$ mit der trivialen $G$-Wirkung versehen und erhalten genau einen $G$-Morphismus $B \to X$, also genau einen Morphismus $B \to X$.
Wie sieht es für $G = \Sigma_3$ aus?
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Kezer
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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Wow, sehr inspirierend, so treibt man echt Mathematik! Ich habe ein paar Fragen zu deinen Argumenten und werde mich dann auch weiter damit beschäftigen.
\quoteon(2020-09-08 21:55 - Triceratops in Beitrag No. 3)
Angenommen, $\lim(T) \in \mathscr{D}$ existiert. Dann gilt die Aussage. Denn $\lim(T)$ ist ein terminales Objekt: $\hom(B,\lim(T)) = \hom(\Delta(B),T) = \{\star\}$.
Zum Beispiel existiert $\lim(T)$ auf jeden Fall, wenn $\mathscr{C}$ ein initiales Objekt besitzt.
\quoteoff
Wieso ist $T(A)$ terminal für $A \in \mathscr{C}$, wenn $\lim(T)$ existiert? Und wieso existiert $\lim(T)$, wenn $\mathscr{C}$ ein initiales Objekt besitzt?
Zu Beitrag No. 5: Ist es dann sofort klar, dass $Y$ auch terminal ist? Ich kann zeigen, dass $X \cong Y$ gilt, wenn ich noch die natürlichen Transformationen von $(\mathrm{id}_Y, \beta: Y \rightrightarrows Y), (g,g: Y \rightrightarrows X), (f,f:X \rightrightarrows Y)$ zu $(f,f : X \rightrightarrows Y)$ betrachte, aber vermutlich hast du ein schnelleres Argument?
Zu Beitrag No. 6: Wo verwendest du in deinem Argument überhaupt, dass $G$ kommutativ ist? Funktioniert es nicht für beliebige Monoide $G$?
Edit: Das gleiche Argument aus Beitrag No. 5 funktioniert auch, wenn es mehr Pfeile als nur zwei gibt.
Edit 2: Bisschen schnelleres Argument, dass $Y$ terminal ist: Sei $g : Y \to X$ die eindeutige Abbildung und $\beta = fg$.
- Die Abbildung $(\mathrm{id}, \mathrm{id} : X \rightrightarrows X) \to (f,f : X \rightrightarrows Y)$ liefert $\beta f = f$.
- Die Abbildung $(f,f : X \rightrightarrows Y) \to (f,f : X \rightrightarrows Y)$ liefert $\beta = \mathrm{id}$.
Damit erhält man, dass $f,g$ Isomorphismen sind. Das gleiche Argument funktioniert auch für $\mathscr{C} = (\bullet \to \bullet)$.
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-09
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Wie gesagt ist die Aussage klar, wenn $\mathscr{D}$ ein terminales Objekt $\star$ besitzt. (Dann ist $\Delta(\star)$ ein terminales Objekt in der Funktorkategorie, also $T \cong \Delta(\star)$, also $T(A) \cong \star$ für alle $A$.) Insbesondere gilt die Aussage, wenn es ein $A$ gibt, sodass $T(A)$ terminal ist. Damit lassen sich die meisten deiner Fragen beantworten. Aber ich gehe sie noch einmal einzeln durch:
\quoteon(2020-09-09 11:05 - Kezer in Beitrag No. 7)
Wieso ist $T(A)$ terminal für $A \in \mathscr{C}$, wenn $\lim(T)$ existiert?
\quoteoff
Wenn $\lim(T)$ existiert (und $T$ terminal ist, das ist die generelle Voraussetzung), dann ist $\lim(T)$ terminal; der kurze Beweis steht oben: $\hom(-,\lim(T)) = \lim(\Delta(-),T) = \star$. Also hat $\mathscr{D}$ ein terminales Objekt. Also gilt die Aussage (siehe oben).
\quoteonUnd wieso existiert $\lim(T)$, wenn $\mathscr{C}$ ein initiales Objekt besitzt?
\quoteoff
Das ist ein Fall für diese Methode. Wir haben ein initiales Objekt $0 \in \mathscr{C}$. Wir müssen einen Limes von $T$ finden, also ein Objekt von $\mathscr{D}$. Wir haben einen Funktor $T : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$. Also was muss man tun?
\quoteonZu Beitrag No. 5: Ist es dann sofort klar, dass $Y$ auch terminal ist?
\quoteoff
Ja, weil man (siehe oben) nur irgendein terminales Objekt in $\mathscr{D}$ finden muss.
\quoteonZu Beitrag No. 6: Wo verwendest du in deinem Argument überhaupt, dass $G$ kommutativ ist? Funktioniert es nicht für beliebige Monoids $G$?
\quoteoff
Dass $g : X \to X$ ein $G$-Morphismus ist, verwendet, dass $g$ im Zentrum von $G$ liegt.
\quoteonEdit: Das gleiche Argument aus Beitrag No. 5 funktioniert auch, wenn es mehr Pfeile als nur zwei gibt.
\quoteoff
Gut zu wissen!
\quoteonDas gleiche Argument funktioniert auch für $\mathscr{C} = (\bullet \to \bullet)$.
\quoteoff
Diese Kategorie hat ein initiales Objekt, ist also längst abgehakt.
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Kezer
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Das beantwortet meine Fragen.
Mit $\Sigma_3$ meinst du einen der nicht-kommutativen Monoide mit drei Elementen ($xy = x$ für $x \neq \mathrm{id}$), oder? Ich weiß noch nicht, ob die Aussage dafür gilt, werde mich aber melden, wenn ich mehr herausfinden kann.
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Triceratops
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-09
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Mit $ \Sigma_n$ ist die symmetrische Gruppe auf $n$ Elementen gemeint (oft mit $S_n$ bezeichnet, aber diese Notation ist bereits überladen). Aber du hast recht, man kann auch kleinere Monoide betrachten.
Ich wollte noch eine Intuition loswerden: Wir müssen $\mathscr{C}$ und $\mathscr{D}$ so wählen, dass es möglichst wenige Funktoren $\mathscr{C} \to \mathscr{D}$ gibt. (Im Extremfall könnte es sein, dass jeder Funktor konstant ist.) Wenn wir uns $\mathscr{C}$ als eine Skizze vorstellen, bedeutet das, dass es möglichst wenige $\mathscr{C}$-Modelle in $\mathscr{D}$ geben soll. (Alle bisher genannten positiven Resultate lassen sich so interpretieren, dass es eben viele $\mathscr{C}$-Modelle in $\mathscr{D}$ gibt.) Dann ist es nämlich viel wahrscheinlicher, dass es ein terminales Objekt in dieser Kategorie gibt, weil es weniger Objekte gibt, welche die universelle Eigenschaft bezeugen müssen.
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Triceratops
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-10
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Fällt dir etwas für $\mathscr{C} = (\IN,\geq)$ ein? Also die Funktoren sind dann Diagramme
$\cdots \to X_2 \to X_1 \to X_0$.
Wenn wir ein solches terminales Objekt haben, gibt es genau einen Morphismus vom konstanten Diagramm $(\cdots \to X_0 \to X_0 \to X_0)$, aber viel mehr sehe ich nicht.
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Kezer
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10
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@Beitrag No. 10: Ah okay, diese Notation für die symmetrische Gruppe habe ich noch nicht so oft gesehen.
@Beitrage No. 11: Interessante Idee!
\quoteon(2020-09-10 08:58 - Triceratops in Beitrag No. 11)
Wenn wir ein solches terminales Objekt haben, gibt es genau einen Morphismus vom konstanten Diagramm $(\cdots \to X_0 \to X_0 \to X_0)$, aber viel mehr sehe ich nicht.
\quoteoff
Kannst du das bisschen genauer schreiben? Meinst du ein terminales Objekt in $\mathscr{D}$?
Ich denke, ich kann zeigen: Wenn $(\dots \to X_2 \to X_1 \to X_0)$ ein terminales Objekt in $\operatorname{Fun}(\mathbb{N}, \mathscr{D})$ ist, dann ist $X_0 \cong X_1$. Ich sollte meinen Beweis aber nochmal überprüfen, da er recht messy war.
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Kezer
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10
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\quoteon(2020-09-10 10:49 - Kezer in Beitrag No. 12)
Ich denke, ich kann zeigen: Wenn $(\dots \to X_2 \to X_1 \to X_0)$ ein terminales Objekt in $\operatorname{Fun}(\mathbb{N}, \mathscr{D})$ ist, dann ist $X_0 \cong X_1$. Ich sollte meinen Beweis aber nochmal überprüfen, da er recht messy war.
\quoteoff
Hier ist das Argument:
- Ein Morphismus $$(\dots \overset{\mathrm{id}}{\to} X_0 \overset{\mathrm{id}}{\to} X_0 \overset{\mathrm{id}}{\to} X_0 ) \to (\dots \overset{f_2}{\to} X_2 \overset{f_1}{\to} X_1 \overset{f_0}{\to} X_0)$$ liefert Morphismen $\alpha_n : X_0 \to X_n$ mit $\alpha_n = f_n \alpha_{n+1}$.
- Behauptung: $\alpha_1 = f_0^{-1}$.
- Wir betrachten $$(\dots \overset{\mathrm{id}}{\to} X_0 \overset{\mathrm{id}}{\to} X_0 \overset{f_0 \alpha_1}{\to} X_0 ) \to (\dots \overset{f_2}{\to} X_2 \overset{f_1}{\to} X_1 \overset{f_0}{\to} X_0).$$ Dann sind sowohl $(\mathrm{id}, \alpha_1, \alpha_2, \dots)$ als auch $(f_0 \alpha_1, \alpha_1 f_0 \alpha_1, \alpha_2 f_0 \alpha_1, \dots)$ mögliche Morphismen. Wegen der Eindeutigkeit ist $\mathrm{id}_{X_0} = f_0 \alpha_1$.
- Wir betrachten $$(\dots \overset{\mathrm{id}}{\to} X_1 \overset{\alpha_1 f_0}{\to} X_1 \overset{\alpha_1 f_0}{\to} X_1 ) \to (\dots \overset{f_2}{\to} X_2 \overset{f_1}{\to} X_1 \overset{f_0}{\to} X_0).$$ (Alle restlichen Morphismen im linken Funktor sollen $\mathrm{id}$ sein.) Dann sind sowohl $(f_0, \alpha_1 f_0, \alpha_2 f_0 \alpha_1 f_0, \alpha_3 f_0 \alpha_1 f_0, \dots)$ also auch $(f_0, \mathrm{id}, \alpha_2 f_0, \alpha_3 f_0, \dots)$ mögliche Morphismen. Wegen der Eindeutigkeit ist $\mathrm{id}_{X_1} = \alpha_1 f_0$.
Vielleicht kann man das fortführen und $X_0 \cong X_1 \cong X_2 \cong \dots$ zeigen?
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Triceratops
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| Beitrag No.14, eingetragen 2020-09-10
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Das ist schon ziemlich trickreich!
Im zweiten Teil kannst du den zweiten Morphismus wegen $f_0 \alpha_1 = \mathrm{id}$ vereinfachen. Er stimmt dann mit dem ersten Morphismus nur beim Index $1$ nicht überein.
Ich konnte deinen Beweis zu Ende bringen bzw. dann auch einen unabhängigen Beweis finden.
Beweis. Ich behaupte, dass $(\cdots \to X_2 \to X_1)$ auch terminal ist. Dazu betrachte man ein beliebiges Objekt $(\cdots \to A_2 \to A_1)$. Es gibt genau einen Morphismus
$\begin{tikzcd}
\cdots \ar{r} & A_2 \ar{d} \ar{r} & A_1 \ar{r}{\mathrm{id}}\ar{d} & A_1 \ar{d}\\
\cdots \ar{r} & X_2 \ar{r} & X_1 \ar{r} & X_0
\end{tikzcd}$
Hier ist nun $A_1 \to X_0$ offenbar durch $A_1 \to X_1$ eindeutig bestimmt. Es folgt, dass es genau einen Morphismus
$\begin{tikzcd}
\cdots \ar{r} & A_2 \ar{d} \ar{r} & A_1\ar{d} \\
\cdots \ar{r} & X_2 \ar{r} & X_1
\end{tikzcd}$
gibt. Das zeigt meine Behauptung. Nun betrachte den offensichtlichen Morphismus
$\begin{tikzcd}
\cdots \ar{r} & X_3 \ar{d} \ar{r} & X_2 \ar{r} \ar{d} & X_1 \ar{d}\\
\cdots \ar{r} & X_2 \ar{r} & X_1 \ar{r} & X_0
\end{tikzcd}$
Weil beide Objekte terminal sind, muss er ein Isomorphismus sein. Das bedeutet, dass alle $X_{n+1} \to X_n$ Isomorphismen sind. Dann existiert aber der Limes dieses Diagramms, und wir sind fertig. $\checkmark$
Ich wundere mich im Moment noch, dass es mittlerweile so viele Positivbeispiele gibt, aber andererseits sich nichts Gemeinsames erkennen lässt, wodurch die Behauptung etwa doch allgemein gelten müsste. Ich bin aber zuversichtlich, dass wir darüber irgendwann Klarheit bekommen werden.
Mir fällt gerade auf, dass man meine Aussage über Kopotenzen oben noch verfeinern kann: Wenn für alle* $A,A' \in \mathscr{C}$ und $B \in \mathscr{D}$ die Kopotenz $\mathrm{Hom}(A,A') \otimes B$ existiert, dann gilt Aussage T. (Geben wir deiner Aussage mal einen Namen.)
Wenn nun aber (wie im obigen Beispiel) $\mathscr{C}$ dünn ist, hat $\mathrm{Hom}(A,A')$ entweder gar kein oder nur ein Element. Die Kopotenz ist also entweder ein initiales Objekt (leeres Koprodukt) oder einfach $B$ selbst. Insbesondere sieht man: Wenn $\mathscr{C}$ dünn ist (also letztlich eine Präordnung ist) und $\mathscr{D}$ ein initiales Objekt besitzt (eventuell kann man diese Annahme noch irgendwie loswerden?), dann gilt Aussage T.
Hier das direkte Argument dafür: Sei $0 \in \mathscr{D}$ initial und $\mathscr{C}$ dünn, $T : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ ein terminaler Funktor. Für alle $A \in \mathscr{C}$ und $B \in \mathscr{D}$ definiere den Funktor $S_{A,B} : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ durch $S_{A,B}(A') = 0$ falls es keinen Morphismus $A \to A'$ gibt, und ansonsten durch $S_{A,B}(A') = B$. Wie man $S_{A,B}$ auf Morphismen definiert, sollte klar sein. Ein Morphismus $S_{A,B} \to T$ ist dann dasselbe wie ein Morphismus $B \to T(A)$, wovon es also genau einen gibt.
Ich weiß nicht, ob es etwas bringt, aber man kann diesen Funktor $A_{A,B}$ tatsächlich auch definieren, wenn $\mathscr{C}$ nicht unbedingt dünn ist. In dem Fall entsprechen die Morphismen $S_{A,B} \to T$ (wovon es also genau einen gibt) allerdings den Morphismen $h : B \to T(A)$ mit der Eigenschaft, dass $T(f) h = T(f')h$ für alle $f,f' : A \to A'$.
*Genauer gesagt braucht man dies nur für ein $A$ (aber dann für alle $A'$).
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Triceratops
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-09-11
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Wie sieht es mit der Kategorie $\mathscr{C}$ mit zwei Objekten $a,b$ aus, die zwei Morphismen $i,j : a \to b$ und einen Morphismus $p : b \to a$ mit $pi=pj=\mathrm{id}_a$ hat? (Das ist zugleich die abgeschnittene Simplexkategorie $\Delta_{\leq 1}$.) Damit komme ich nicht weiter.
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Kezer
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-11
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Sehr schöne Beweise und Hinweise!
Zu $\Delta_{\leq 1}$ (wie heißt "abgeschnittene Simplexkategorie" eigentlich auf Englisch?), ich denke Aussage T mit dem folgenden Argument?
Sei $(X \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}} Y, Y \overset{h}{\to} X)$ ein terminaler Funktor $\Delta_{\leq 1} \to \mathscr{D}$. Wir wollen $X \cong Y$ zeigen. Es gibt genau einen Morphismus
$\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\mathrm{id}"] \arrow[d, xshift = -.8ex, "{\mathrm{id}, \mathrm{id}, \mathrm{id}}", swap] \arrow[d, xshift = .1ex] & X \arrow[d, xshift = -.8ex] \arrow[d, xshift = .1ex]
\\ X \arrow[u, xshift = 1ex] \arrow[r, "\alpha", swap] & Y \arrow[u, xshift = 1ex, "{f,g,h}", swap]
\end{tikzcd}$
Das Diagramm liefert die Relationen $\alpha = f = g$ sowie $h \alpha = \mathrm{id}_X$, d.h. wir erhalten $f = g$ und $hf = \mathrm{id}_X$.
Nun gibt es genau einen Morphismus
$\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, "\beta"] \arrow[d, xshift = -.8ex, "{fh, fh, fh}", swap] \arrow[d, xshift = .1ex] & X \arrow[d, xshift = -.8ex] \arrow[d, xshift = .1ex]
\\ Y \arrow[u, xshift = 1ex] \arrow[r, "\gamma", swap] & Y \arrow[u, xshift = 1ex, "{f,f,h}", swap]
\end{tikzcd}$
Es funktionieren $(\beta, \gamma) = (h,\mathrm{id}_Y)$ und $(\beta, \gamma) = (h, fh)$, somit folgt $\mathrm{id}_Y = fh$ nach Eindeutigkeit. Folglich ist $f = h^{-1}$. Der Limes des Diagramms existiert und wir sind fertig.
Ich sehe, dass fast alle meiner Versuche bisher darauf hinauslaufen, dass alle Objekte in dem Diagram isomorph sind - vielleicht könnten man einen solchen Ansatz allgemein führen?
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Triceratops
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| Beitrag No.17, eingetragen 2020-09-11
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$\Delta_{\leq 1}$ kann man im Englischen truncated simplex category nennen. Es ist die Unterkategorie der Simplexkategorie $\Delta$, die aus den Objekten $[0],[1]$ besteht.
In deinem Beweis verstehe ich nicht, wieso du im 1. Schritt annehmen kannst, dass der Morphismus oben die Identität von $X$ ist.
Dass es für $B \in \mathscr{D}$ genau einen Morphismus $\Delta(B) \to (f,g,h)$ gibt, bedeutet, dass es genau ein Paar von Morphismen $\alpha : B \to X$, $\beta : B \to Y$ (das $\beta$ nennst du $\alpha$) gibt mit $\alpha \mathrm{id} = h \beta$, $\beta \mathrm{id} = f \alpha$, $\beta \mathrm{id} = g \alpha$. Also dass es genau einen Morphismus $\alpha : B \to X$ gibt mit $f \alpha = g \alpha$. (Man kann sich das so vorstellen, dass der in einer Vervollständigung gebildete Differenzkern von $f,g$ ein terminales Objekt ist.) Wie folgerst du daraus $f=g$?
Im 2. Schritt bei deinem Beweis verstehe ich nicht, wieso $(fh,fh,fh)$ überhaupt ein Objekt unserer Kategorie sein sollte. Dafür müsste ja $fh$ zu sich selbst invers sein (aber dann wären wir sowieso fertig).
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Kezer
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-11
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Sorry, das waren zwei miese Denkfehler von mir.
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Triceratops
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| Beitrag No.19, eingetragen 2020-09-11
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Wenn wir da nicht weiterkommen, vielleicht können wir mit $ \mathscr{C}=\alpha^{\mathrm{op}}$ für Ordinalzahlen $\alpha$ weitermachen. Den Fall $\alpha=\omega$ hatten wir schon. Der Fall $\alpha=0$ ist langweilig. Wenn $\alpha$ eine Nachfolgerzahl ist, hat $\alpha$ ein größtes Element, also $\alpha^{\mathrm{op}}$ ein initiales Objekt, und wir sind fertig. Sei also $\alpha>\omega$ eine Limesordinalzahl. Wie kann man hier vorgehen? Mir ist nicht einmal der Fall $\alpha=\omega+\omega$ klar. Wenn $X$ ein terminales Objekt ist, kann man zwar wieder zeigen, dass $X_{n+1} \to X_n$ ein Isomorphismus für $n<\omega$ ist, aber daraus folgt noch nicht, dass für $n<\omega$ die $X_{\omega} \to X_n$ Isomorphismen sind ("obwohl" wir den Fall $\alpha=\omega+1$ schon erledigt haben).
Hier fasse ich übrigens den aktuellen Fortschritt zusammen. Die pdf wird auch aktuell gehalten: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/dl.php?id=2310
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Kezer
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-11
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Schönes Dokument und guter Ansatz. Ich muss zugeben, dass ich mich kaum mit Ordinalzahlen auskenne, werde mir das aber auch anschauen. Mit $\Delta_{\leq 1}$ bin ich auch noch nicht weitergekommen.
Ich wollte noch anmerken, dass T für die Kategorie $\mathscr{C} = (\bullet \rightrightarrows \bullet \to \bullet)$ auch gilt, wenn man Beitrag No. 5 minimal modifiziert.
Sei $(X \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}} Y \overset{h}{\to} Z)$ ein terminaler Funktor. Es gibt genau einen Morphismus $(\alpha, \beta, \gamma):\Delta(Y) \to (f,g,h)$.
$\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, xshift = -.4ex, "\mathrm{id}", swap] \arrow[d, xshift = .4ex, "\mathrm{id}"] & X \arrow[d, xshift = -.4ex, "f", swap] \arrow[d, xshift = .4ex, "g"]
\\ Y \arrow[d, "\mathrm{id}", swap] \arrow[r, "\beta"] & Y \arrow[d, "h"]
\\ Y \arrow[r, "\gamma"] & Z
\end{tikzcd}$
Wir behaupten, dass $\alpha : Y \to X$ der einzige Morphismus mit $f \alpha = g \alpha$ ist. Angenommen $\alpha' : Y \to X$ wäre ein weiterer solcher Morphismus. Der Morphismus $(\alpha', f\alpha', hf \alpha')$ funktioniert dann auch als Morphismus im obigen Diagramm. Folglich ist $\alpha = \alpha'$. (Das ist der einzige Teil, der zusätzlich zum Argument in Beitrag No. 5 benötigt wird.)
Der Rest des Beweises funktioniert auch genauso wie in Beitrag No. 5, indem man immer den unteren Morphismus genau wie hier beachtet.
(Das analoge Argument versagt für $\Delta_{\leq 1}$ leider in Schritt 2.)
Vielleicht könnte man sich auch an dem nicht-punktweise definierten Limes aus Kellys Buch inspirieren, indem man Pullbacks als terminale Objekte in einer geeigneten Kategorie betrachtet? Wahrscheinlich bringt das aber nicht so viel, ich sehe zumindest nicht, wie man das in unser Setting bringen könnte.
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Triceratops
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| Beitrag No.21, eingetragen 2020-09-11
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Wenn $(X \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}} Y \overset{h}{\to} Z)$ terminal ist, dann ist auch $(X \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}} Y)$ terminal, und den Fall hatten wir schon; das sieht man ähnlich wie in Beitrag 14 (man ergänze ein Testobjekt mit der Identität).
Man kann das Argument verallgemeinern (Beweis steht in der pdf):
Sei $\Gamma$ ein gerichteter Graph und $v \in \Gamma$ ein Knoten. Sei $\Gamma'$ der gerichtete Graph, der aus $\Gamma$ entsteht, indem man einen Knoten $v'$ und eine Kante $e : v \to v'$ hinzufügt. Zum Beispiel ist $(u \rightrightarrows v)' = u \rightrightarrows v \to v'$. Wenn Aussage T für $\mathrm{Path}(\Gamma)$ gilt, dann gilt Aussage T auch auf $\mathrm{Path}(\Gamma')$.
(Hierbei ist $\mathrm{Path}(-)$ die Pfadkategorie eines gerichteten Graphen, also die freie Kategorie auf diesem Graphen, die wir oben sowieso explizit benutzt haben, denn $\bullet \rightrightarrows \bullet$ ist ja eigentlich nur ein gerichteter Graph. Und Aussage T gelte für eine Kategorie $\mathscr{C}$, wenn sie für alle Funktoren $\mathscr{C} \to \mathscr{D}$ gilt.)
Vielleicht kann man nun einmal mit Induktion den allgemeinen Fall $\mathrm{Path}(\Gamma)$ für endliche $\Gamma$ angehen? Dazu müsste man dann noch den Fall betrachten, dass man zwischen zwei bestehenden Knoten eine Kante hinzufügt.
Geht dein Argument eigentlich für $\langle \bullet \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}} \bullet \overset{h}{\to} \bullet : hf=hg \rangle$?
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Kezer
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-11
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Das ist natürlich nett.
\quoteon(2020-09-11 16:00 - Triceratops in Beitrag No. 21)
Geht dein Argument eigentlich für $\langle \bullet \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}} \bullet \overset{h}{\to} \bullet : hf=hg \rangle$?
\quoteoff
Ja. So geht der Beweis zu Ende (eigentlich bloß das Argument aus Beitrag No. 5): In
$\begin{tikzcd}
Y \arrow[r] \arrow[d, xshift = -.4ex, "\alpha", swap] \arrow[d, xshift = .4ex, "\alpha"] & X \arrow[d, xshift = -.4ex, "f", swap] \arrow[d, xshift = .4ex, "g"]
\\ X \arrow[d, "\mathrm{id}", swap] \arrow[r] & Y \arrow[d, "h"]
\\ X \arrow[r] & Z
\end{tikzcd}$
funktionieren $(\alpha, f, hf)$ und $(\alpha, g, hg)$, somit $f = g$.
Sei $A$ ein beliebiges Objekt aus $\mathscr{D}$. Ein Morphismus $\varphi : A \to X$ liefert das kommutative Diagramm
$\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, xshift = -.4ex, "\mathrm{id}", swap] \arrow[d, xshift = .4ex, "\mathrm{id}"] & X \arrow[d, xshift = -.4ex, "f", swap] \arrow[d, xshift = .4ex, "f"]
\\ A \arrow[d, "\mathrm{id}", swap] \arrow[r, "f \varphi"] & Y \arrow[d, "h"]
\\ A \arrow[r, "hf \varphi"] & Z
\end{tikzcd}$ Es gibt also genau einen Morphismus $\varphi : A \to X$. Die Funktoren auf der linken Seite erfüllen insbesondere immer die Relation, die du nennst.
\quoteon(2020-09-11 16:00 - Triceratops in Beitrag No. 21)
Vielleicht kann man nun einmal mit Induktion den allgemeinen Fall $\mathrm{Path}(\Gamma)$ für endliche $\Gamma$ angehen? Dazu müsste man dann noch den Fall betrachten, dass man zwischen zwei bestehenden Knoten eine Kante hinzufügt.
\quoteoff
Haben wir schon ein Argument für $ \begin{tikzcd} \mathscr{C} = (\bullet \arrow[r, yshift = 1ex] \arrow[r, yshift = .2ex] & \bullet \arrow[l, yshift = -0.6ex]) \end{tikzcd} $?
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Triceratops
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| Beitrag No.23, eingetragen 2020-09-12
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| Danke für den Beweis!
Über $\begin{tikzcd} (\bullet \arrow[r, yshift = 1ex] \arrow[r, yshift = .2ex] & \bullet \arrow[l, yshift = -0.6ex]) \end{tikzcd} $ habe ich noch nicht nachgedacht.
Mir ist aufgefallen, dass mein Argument über Adjunktionen aus dem letzten Beitrag viel allgemeiner funktioniert. (Ich denke, solche allgemeinen Überlegungen sind hier sehr hilfreich, auch um Beispiele besser zu verstehen.)
Sei $J : \mathscr{C} \to \mathscr{C}'$ irgendein linksadjungierter Funktor und $\mathscr{C} \neq \emptyset$. Wenn Aussage T für $\mathscr{C}$ gilt, dann auch für $\mathscr{C}'$.
Denn wenn $J \dashv I : \mathscr{C} \to \mathscr{C}'$, so zeigt ein formales mit Einheit und Koeinheit $I^* \dashv J^* : \mathrm{Hom}(\mathscr{C}',\mathscr{D}) \to \mathrm{Hom}(\mathscr{C},\mathscr{D})$. Also ist $J^*$ stetig und erhält insbesondere finale Objekte*. Wenn also $T \in \mathrm{Hom}(\mathscr{C}',\mathscr{D})$ final ist, dann ist $J^*(T) = T \circ J$ final. Nach Annahme und wegen $\mathscr{C} \neq \emptyset$ hat also $\mathscr{D}$ ein finales Objekt.
Ich denke, damit lässt sich Einiges anfangen.
*final = terminal; ich spreche eigentlich immer von finalen Objekten und kann jetzt nicht mehr sicherstellen, dass ich immer die Übersetzung machen werde.
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Kezer
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12
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Wow, das ist eine starke Aussage 🤯
Ich denke, das ist dir schon bekannt, aber eine kleine Verallgemeinerung von Beitrag No. 3:
Wenn ein linksadjungierter Funktor $L : \mathscr{D} \to \operatorname{Fun}(\mathscr{C}, \mathscr{D})$ existiert, dann gilt Aussage T.
Beweis. Sei $T : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ ein terminaler Funktor. Wenn $L \dashv R$, dann gilt $$\operatorname{Hom}(X, RT) \cong \operatorname{Nat}(LX, T) = \{\ast \}$$ für alle $X \in \mathscr{D}$.
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Triceratops
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| Beitrag No.25, eingetragen 2020-09-12
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Mir ist ein Beweis für $B(G)$ gelungen, wobei $G$ ein beliebiges Monoid ist. Dazu habe ich die Aussage zunächst in eine rein algebraische Aussage umgewandelt und dann irgendwann ein einfaches Argument gefunden. Mir sind dann Gemeinsamkeiten zu unseren vorherigen Beweisen für ganz andere Kategorien aufgefallen. Und auf einmal stand ein sehr vielversprechender Ansatz da, der auch für beliebige Kategorien funktioniert! 🤯
Beweis. Sei $T : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ final. Für $A \in \mathscr{C}$ gibt es genau einen Morphismus $m(A,-) : \Delta(T(A)) \to T$. Das ist eine Familie von Morphismen $m(A,B) : T(A) \to T(B)$ mit
$(1) \qquad \forall f : B \to B' : ~ T(f) \circ m(A,B) = m(A,B')$
Die entscheidende Beobachtung ist: Für einen Morphismus $f : A \to A'$ ist $m(A',-) \circ \Delta(T(f))$ auch ein Morphismus $\Delta(T(A)) \to T$, sodass die Eindeutigkeit $m(A',-) \circ \Delta(T(f)) = m(A,-)$ impliziert. Das bedeutet also
$(2) \qquad \forall f : A \to A' : ~ m(A',B) \circ T(f) = m(A,B)$
Die nächste entscheidende Beobachtung ist, dass die $m(A,A) : T(A) \to T(A)$ einen Morphismus $T \to T$ definieren. Für $f : A \to B$ gilt nämlich wegen (1),(2)
$T(f) \circ m(A,A) = m(A,B) = m(B,B) \circ T(f).$
Weil $T$ final ist, ist $\mathrm{id}_T$ der einzige Morphismus $T \to T$. Also ist
$(3) \qquad m(A,A) = \mathrm{id}_{T(A)}$
für alle $A \in \mathscr{C}$. Nun folgt weiter für $f : A \to B$ aus (1),(3)
$(4) \qquad m(A,B) = T(f) \circ m(A,A) = T(f).$
Es hängt also $T(f)$ lediglich von $A,B$ ab! Aus (1),(2),(3) folgt außerdem, dass $m(B,A)$ zu $T(f)$ invers ist. Also ist $T(f)$ ein Isomorphismus.
Es folgt, dass $T$ über die diskrete Kategorie $\mathscr{C}/\cong$ (die Klasse der Isomorphieklassen) faktorisiert [hier bin ich mir noch unsicher!], und der Lift $\mathscr{C}/{\cong} \to \mathscr{D}$ ist ebenfalls final. Den diskreten Fall haben wir bereits behandelt. $\checkmark$
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Triceratops
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| Beitrag No.26, eingetragen 2020-09-12
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Ok das Ende muss man vermutlich noch anders machen, aber immerhin haben wir jetzt schon einmal zwei wichtige Eigenschaften von $T$, nämlich dass $T(f)$ immer ein Isomorphismus ist, und dass $T(f)=T(f')$ wenn $f,f'$ parallel sind. Ich dachte erst, dass daraus sofort folgt (und so hatten wir auch immer bei unseren Beispielen argumentiert), dass $\lim(T)=T(A)$ für jedes $A$, aber das ist doch nicht so klar.
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Triceratops
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| Beitrag No.27, eingetragen 2020-09-12
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Wenn $\mathscr{C}$ zusammenhängend ist, kann man den Beweis so zu Ende bringen:
Ich behaupte, dass $m(A,B)$ immer ein Isomorphismus ist. Wenn es einen Morphismus $f : A \to B$ gibt oder einen Morphismus $g : B \to A$ gibt, wissen wir das bereits (dann ist nämlich $m(A,B) = T(f)$ bzw. $m(A,B) = T(g)^{-1}$).
Allgemeiner: Wenn $B \to B'$ ein Morphismus ist, so ist $m(A,B)$ wegen (1) genau dann ein Isomorphismus, wenn $m(A,B')$ ein Isomorphismus ist. (*)
Im allgemeinen Fall gibt es, weil $\mathscr{C}$ zusammenhängend ist, eine Kette von Morphismen
$A = A_0 \to A_1 \leftarrow A_1 \rightarrow A_2 \leftarrow \cdots \rightarrow A_n = B$
Nun folgt induktiv mit (*), dass jeweils $m(A_0,A_i)$ ein Isomorphismus ist. Also ist auch $m(A,B)$ ein Isomorphismus.
Das bedeutet nun aber, dass $m(A,-) : \Delta(T(A)) \to T$ ein Isomorphismus ist. Mit $T$ ist dann auch $T(A)$ final.
Ist nun $\mathscr{C}$ beliebig, so gilt $\mathscr{C} \cong \coprod_{i \in I} \mathscr{C}_i$ mit zusammenhängenden $\mathscr{C}_i$. Es folgt $ \mathrm{Hom}(\mathscr{C},\mathscr{D}) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}(\mathscr{C}_i,\mathscr{D})$. Ein Objekt eines Produktes ist genau dann final, wenn es alle Komponenten sind. Wir sind also im zusammenhängenden Fall.
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Triceratops
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| Beitrag No.28, eingetragen 2020-09-12
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Ich habe die pdf entsprechend überarbeitet.
Ich bin ziemlich zufrieden mit dem Beweis (und noch etwas überrascht, dass das Resultat überhaupt gilt), frage mich nur noch, ob man die Reduktion auf zusammenhängende Kategorien irgendwie umgehen kann. Dadurch wird der Beweis zwar interessanter, aber vielleicht übersehe ich ein direkteres Argument.
Unsere Resultate über Adjunktionen haben nicht wirklich nur etwas mit der Erhaltung von finalen Objekten zu tun, sondern mit der Erhaltung von allen Limites. Siehe dazu das pdf.
Schön wäre es, noch weitere positive Resultate wie für finale Objekte zu haben. Die nächste Sorte von Limites sind binäre Produkte. Allerdings gibt dafür Borceux in Handbook of categorical algebra. Volume 1 in Aufgabe 2.17.9 ein einfaches Gegenbeispiel: Binäre Produkte von Funktoren müssen nicht punktweise gebildet werden. Die Indexkategorie ist hier sogar einfach $\mathscr{C}=\{\bullet \to \bullet\}$.
Mit Kolimites müssen wir uns wegen $\mathrm{Hom}(\mathscr{C},\mathscr{D})^{\mathrm{op}} \cong \mathrm{Hom}(\mathscr{C}^{\mathrm{op}},\mathscr{D}^{\mathrm{op}})$ nicht gesondert befassen.
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Kezer
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13
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Hut ab. Sehr schöner Beweis!
Ich bin auch überrascht, dass so ein Resultat nicht allgemein bekannt war.
\quoteon(2020-09-12 20:00 - Triceratops in Beitrag No. 28)
Schön wäre es, noch weitere positive Resultate wie für finale Objekte zu haben. Die nächste Sorte von Limites sind binäre Produkte. Allerdings gibt dafür Borceux in Handbook of categorical algebra. Volume 1 in Aufgabe 2.17.9 ein einfaches Gegenbeispiel: Binäre Produkte von Funktoren müssen nicht punktweise gebildet werden. Die Indexkategorie ist hier sogar einfach $\mathscr{C}=\{\bullet \to \bullet\}$.
\quoteoff
Ich finde auch. Danke für diese Referenz!
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Kezer
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13
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Funktioniert nicht folgendes Argument bereits?
Sei $A \in \mathscr{C}$. Wir wollen zeigen, dass $T(A) \in \mathscr{D}$ terminal ist. Sei $S \in \mathscr{D}$. Für einen Morphismus $g: S \to T(A)$ ist $m(A,-) \circ \Delta(g)$ ein Morphismus $\Delta(S) \to T$. Wenn also $h:S \to T(A)$ ein weiterer Morphismus ist, dann folgt aus der Eindeutigkeit $$ m(A,-) \circ \Delta(g) = m(A,-) \circ \Delta(h) \iff m(A,B) \circ g = m(A,B) \circ h \text{ für alle } B \in \mathscr{C}.$$ Mit $B = A$ erhalten wir aber wegen (3) $g = h$, d.h. $T(A)$ ist terminal.
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Triceratops
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| Beitrag No.31, eingetragen 2020-09-13
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Super! Das verkürzt den Beweis noch einmal.
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Kezer
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13
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Triceratops
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| Beitrag No.33, eingetragen 2020-09-13
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Man kann sich fragen, ob das Resultat auch für $\mathscr{V}$-angereicherte Kategorien gilt (wobei $\mathscr{V}$ ein Kosmos ist).
Für $R$-lineare Kategorien (also $\mathscr{V}=\mathbf{Mod}(R))$ gibt es ein einfaches Argument: Hier ist ein Objekt $X$ genau dann final, wenn $\mathrm{id}_X = 0$ (und das ist dann auch äquivalent dazu, dass $X$ initial ist). Daraus folgt sofort, dass ein $R$-linearer Funktor genau dann final ist, wenn es seine Werte sind.
Auch für $\mathscr{V}=([0,\infty],\geq,+)$, sodass die $\mathscr{V}$-angereicherten Kategorien also Lawvere metrische Räume sind, kann man sich ein direktes Argument überlegen: eine metrische Abbildung $f : X \to Y$ ist final, wenn $\int_{x \in X} \hom(g(x),f(x)) = \sup_{x \in X} d(g(x),f(x)) = 0$ für jede metrische Abbildung $g : X \to Y$. Nimmt man hier die konstante Abbildung $g(x):=y$ für ein $y \in Y$, folgt sofort $d(y,f(x))=0$, sodass $f(x)$ final ist.
Für allgemeines $\mathscr{V}$ gibt es das Problem, dass wir keine "konstanten Funktoren" mehr haben (das sieht man bereits bei $R$-linearen Kategorien). Für einen $\mathscr{V}$-Funktor $W : \mathscr{C} \to \mathscr{V}$ (Gewicht genannt) und einen $\mathscr{V}$-Funktor $F : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ hat man zudem das Konzept des gewichteten Limes $\{W,F\}$. Wenn dieser für jedes $F$ existiert, erhalten wir einen $\mathscr{V}$-Funktor
$\mathrm{Hom}(\mathscr{C},\mathscr{D}) \to \mathscr{D}, \, F \mapsto \{W,F\},$
welcher, sofern $\mathscr{D}$ über $\mathscr{V}$ tensoriert ist, rechtsadjungiert ist zum Funktor
$\mathscr{D} \to \mathrm{Hom}(\mathscr{C},\mathscr{D}),\, X \mapsto W(-) \otimes X.$
Insofern ist $W(-) \otimes X$ am ehesten hier ein Ersatz für den konstanten Funktor von $X$, aber er hängt eben vom Gewicht $W$ ab. Es gibt im Allgemeinen auch kein kanonisches Gewicht.
Der klassische Fall ist $\mathscr{V}=\mathbf{Set}$ und $W = \Delta(1)$, hier hat man gewöhnliche Limites und den gewöhnlichen konstanten Funktor.
Das sind alles nur ein paar erste Gedanken, die nahelegen, dass der Beweis für angereicherte Kategorien völlig anders aussehen muss (sofern die Aussage überhaupt noch stimmt). Für kartesische $\mathscr{V}$ hingegen (also wenn $\otimes=\times$ und $\mathbf{1}$ final) geht der Beweis genauso wie für $\mathscr{V}=\mathbf{Set}$ durch, weil man hier $W=\Delta(\mathbf{1})$ nehmen kann.
Wenn $\mathscr{D}$ über $\mathscr{V}$ tensoriert ist (das entspricht bei $\mathscr{V}=\mathbf{Set}$ gerade der Existenz von Kopotenzen), ist man aber sowieso (wieder) fertig: Für $A \in \mathscr{C}$ ist dann $\mathscr{D} \to \mathrm{Hom}(\mathscr{C},\mathscr{D})$, $X \mapsto \mathrm{Hom}(A,-) \otimes X$ linksadjungiert zu $T \mapsto T(A)$, sodass $T \mapsto T(A)$ sogar alle gewichteten Limites erhält.
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Kezer
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14
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Sehr interessant, ich habe definitiv gerade ein Menge gelernt.
Hast du eine Idee, in welche Richtung (z.B. angreifbare Beispiele) wir uns von hieraus bewegen können? Ich sehe, dass schon (fast) alle Beispiele (Bsp. 8.9.4 zu Nullmorphismen würde noch fehlen(?)) aus dem Kapitel zu angereicherten Kategorien aus deinem Buch (daran orientiere ich mich meistens, wenn es um angereicherte Kategorien geht) abgearbeitet sind. Auf nLab sind noch ein paar "leichtere" Beispiele, die würde ich später mal versuchen.
\quoteon(2020-09-13 21:32 - Triceratops in Beitrag No. 33)
Für kartesische $\mathscr{V}$ hingegen (also wenn $\otimes=\times$ und $\mathbf{1}$ final) geht der Beweis genauso wie für $\mathscr{V}=\mathbf{Set}$ durch, weil man hier $W=\Delta(\mathbf{1})$ nehmen kann.
\quoteoff
Kurze Anmerkung: Damit gilt Aussage T insbesondere für $\mathscr{V} = \mathbf{CGWH}$, also für ein Modell von $(\infty, 1)$-Kategorien.
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Kezer
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| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15
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Das Argument für Lawvere metrische Räume funktioniert 1-1 auch für ultrametrische Räume, also für $\mathscr{V} = ([0, \infty], \geq, \max)$.
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Triceratops
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| Beitrag No.36, eingetragen 2020-09-15
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\quoteon(2020-09-14 12:11 - Kezer in Beitrag No. 34)
(Bsp. 8.9.4 zu Nullmorphismen würde noch fehlen(?))
\quoteoff
Für $\mathscr{V}=\mathbf{Set}_*$ geht dasselbe Argument wie bei $\mathbf{Mod}(R)$ (s.o.), allgemeiner etwas abgewandelt auch dann, wenn $\mathscr{V}$ ein Nullobjekt hat (etwa $\mathscr{V} = \mathbf{Ban}_1$).
\quoteon(2020-09-15 17:48 - Kezer in Beitrag No. 35)
Das Argument für Lawvere metrische Räume funktioniert 1-1 auch für ultrametrische Räume, also für $\mathscr{V} = ([0, \infty], \geq, \max)$.
\quoteoff
Nächster Schritt: Gibt es dafür eine allgemeinere Erklärung? Also eine rein kategorielle Eigenschaft von $\mathscr{V}$, die dafür verantwortlich ist.
Gilt die Aussage, wenn die zugrunde liegende Kategorie von $\mathscr{V}$ eine partielle Ordnung ist? (Also $\mathscr{V}$ ein unitales kommutatives Quantal ist.) Oder muss man noch annehmen, dass $\mathbf{1}$ final ist? Beziehungsweise, gilt es allgemein, wenn $\mathbf{1}$ ein finales Objekt ist?
Das Beispiel $\mathscr{V}=\{0<1\}$ (sodass $\mathscr{V}\mathbf{-Cat}=\mathbf{Pre}$) würde auch darunter fallen, wo wieder ein direktes Argument klappt.
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Triceratops
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| Beitrag No.37, eingetragen 2020-10-10
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Wollen wir das mal wieder zum Leben erwecken?
Frage: gibt es irgendein Beispiel von angereicherten Kategoroen, wo die Behauptung nicht gilt?
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Kezer
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| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10
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Sorry, dass ich nicht geantwortet habe.
\quoteon(2020-09-15 23:22 - Triceratops in Beitrag No. 36)
\quoteon(2020-09-14 12:11 - Kezer in Beitrag No. 34)
(Bsp. 8.9.4 zu Nullmorphismen würde noch fehlen(?))
\quoteoff
Gilt die Aussage, wenn die zugrunde liegende Kategorie von $\mathscr{V}$ eine partielle Ordnung ist? (Also $\mathscr{V}$ ein unitales kommutatives Quantal ist.) Oder muss man noch annehmen, dass $\mathbf{1}$ final ist? Beziehungsweise, gilt es allgemein, wenn $\mathbf{1}$ ein finales Objekt ist?
\quoteoff
Funktioniert nicht derselbe Beweis für Quantale mit terminalem Objekt (nicht notwendigerweise $\mathbf{1}$)? Und wenn es kein terminales Objekt gibt, gibt es keine terminale Funktoren, also haben wir die Aussage für alle Quantale?
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Triceratops
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| Beitrag No.39, eingetragen 2020-10-10
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$\mathcal{V}$ ist als vollständig vorausgesetzt, hat also sowieso ein finales Objekt. (Ansonsten könnte man hier nicht einmal formulieren, was ein finales Objekt in einer $\mathcal{V}$-Kategorie sein soll.) Welcher Beweis funktioniert dann für den Fall eines Quantals $\mathcal{V}$?
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