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  Untervektorraum des unendlichen Vektorraums über den reellen Zahlen |
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MePep
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
 |  Themenstart: 2020-09-09
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Hallo!
Ich habe eine interessante Aufgabe gefunden, und zwar betrachtet man den Vektorraum $\mathbb{R}^{\infty}$, genauer gesagt einen Untervektorraum der folgendermaßen definiert ist:
$V := \{(a_{1}, a_{2}, a_{3},...) \in \mathbb{R}^{\infty}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1} \forall n > 0\}$
Zunächst galt es zu Beweisen, dass es sich auch wirklich um einen Untervektorraum von $\mathbb{R}^{\infty}$ handelt. Darum soll es aber nicht gehen, mich interessiert es, eine Basis für besagten Untervektorraum zu finden und zu beweisen, dass es sich wirklich um eine Basis handelt.
Zunächst Frage ich mich was für eine Dimension dieser Untervektorraum denn hat. Ist die Dimension ebenfalls unendlich?
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-09
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Hallo MePep,
die Komponenten eines Vektors aus diesem Unterraum berechnen sich nach der bekannten Regel, mit der die Fibonacci-Folge defniert wird. Wie viele Folgenglieder der Fibonacci-Folge muss man denn angeben, um alle anderen Folgenglieder bereits festgelegt zu haben?
Viele Grüße
Vercassivelaunos
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MePep
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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\quoteon(2020-09-09 14:59 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1)
Hallo MePep,
die Komponenten eines Vektors aus diesem Unterraum berechnen sich nach der bekannten Regel, mit der die Fibonacci-Folge defniert wird. Wie viele Folgenglieder der Fibonacci-Folge muss man denn angeben, um alle anderen Folgenglieder bereits festgelegt zu haben?
Viele Grüße
Vercassivelaunos
\quoteoff
Das mit der Fibonacci Folge habe ich mir fast schon gedacht!
Im Prinzip ist jeder Vektor, also jede Folge dieser Art durch die Komponenten $a_{1}$ und $a_{2}$ festgelegt. Eventuell (das ist jetzt gerade nur ein Blitzgedanke könnte also auch falsch sein), reicht es zwei Basisvektoren zu finden, einmal einen Vektor der $(1, 1, 2, 3, 5...)$ und einmal einen Vektor der so $(0, 1, 1, 2, 3...)$ definiert ist. Beide sollten ja linear unabhängig sein, und ich denke das der Span der beiden auch wieder den Untervektorraum ergeben würde. Oder ist das falsch?
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-09
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MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-09-30 16:09 U <
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