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Funktionentheorie » Holomorphie » Permanenz der Relation
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Universität/Hochschule J Permanenz der Relation
Phi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-12


Hi!

Ich habe ein Problem einen Beweis zu verstehen:

Behauptung:

Sei $f_a, g_a\in O_a$, $\gamma:[0,1] \mapsto \IC$ eine Kuve mit $\gamma(0)=a$. Weiters sei $P$ ein Polynom in zwei Variablen.
Wenn $f_a,g_a$ entlang $\gamma$ fortsetzbar sind und $P(f_a,g_a)=0$, dann gilt $P(F(t),G(t))=0$ für $t\in[0,1]$, wobei $F(t),G(t)$ die Keime bei $\gamma(t)$ sind, die sich aus der analystischen Fortsetzung von $f_a$ resp. $g_a$ entlang $\gamma$ ergeben.

Anmerkung: $f_a$ ist der Keim von $f\in H(U)$ bei $a\in\IC$ und $O_a$ die Menge aller aller Keime bei $a$.

Beweis:

Es sei $D$ eine Kreisscheibe in $\IC$ und $\phi,\psi\in H(D)$. Ist $z\in D$ und $P(\phi_z,\psi_z)=0$ so ist $P(\phi,\psi)=0$ auf ganz $D$ nach dem Identitätsprinzip für holomorphe Funktionen.
Somit folgt, dass $\{t\in[0,1];P(F(t),G(t)=0\}$ offen und abgeschlossen in $[0,1]$ ist. q.e.d.


Ich verstehe nicht, wieso dies gilt:

Ist $z\in D$ und $P(\phi_z,\psi_z)=0$ so ist $P(\phi,\psi)=0$ auf ganz $D$.

Vielleicht könnte mir jemand erklären, wie man das einsehe kann
?

Danke schon mal!

MfG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-12


Beachte, dass der Halm $O_z$ sogar eine $\IC$-Algebra ist, und dass $P(\phi_z,\psi_z) = P(\phi,\psi)_z$ gilt (weil $H(D) \to O_z$, $f \mapsto f_z$ ein $\IC$-Algebra-Homomorphismus ist). Außerdem gilt $f_z = 0$ genau dann, wenn $f|_U = 0$ auf einer offenen Umgebung $U$ von $z$ (per Definition von $O_z$). Jetzt sollte klar sein, wie man den Identitätssatz anwendet.



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Phi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13


@Triceratops: Danke für die Antwort!

Ich hab mir folgendes mit Deinem Hinweis überlegt:

$P(\phi,\psi)_z = (\sum_{i_1,i_2\ge 0} {a_{i_1 i_2}\phi^{i_1}\psi^{i_2}})_z = (*)$
 Da $O_z$ eine $\IC$-Algebra ist, folgt:

$(*)= \sum_{i_1,i_2\ge 0} {(a_{i_1 i_2})_z(\phi^{i_1})_z(\psi^{i_2})_z} = \sum_{i_1,i_2\ge 0} {a_{i_1 i_2}(\phi_z)^{i_1}(\psi_z)^{i_2}} = P(\phi_z,\psi_z)$.

Nun hat man: $P(\phi,\psi)_z=0$, also ist $P(\phi,\psi)=0$ auf $W\subset D$, wobei $W$ offen in $\IC$ und $z\in W$, und damit nach dem Identitätssatz auf ganz $D$.

Meine Schwierigkeit war, dass ich nicht gesehn hab, dass $O_z$ eine $\IC$-Algebra ist - Brett vorm Kopf!

Nochmals vielen Dank für die Hilfe.

MfG



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