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Lineare Algebra » Vektorräume » Ungleichung bei Dimensionsformel
Autor
Universität/Hochschule J Ungleichung bei Dimensionsformel
X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
  Themenstart: 2020-09-14

Hallo zusammen! Ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe: Sei K ein Körper und sei $f: V \to W$ eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen K-Vektorräumen. Sei $U \subset V$ ein Unterraum. Zu zeigen ist: $f|_{U}$ ist injektiv $\implies dim \; U + dim \; ker(f) \le dim V$ - - - - - - - - - - Sei $n = dim \; V.$ Nun ist $f|_U$ injektiv genau dann, wenn $ker \; f|_U = \{0\}$. Da $U$ ein Unterraum ist, gibt es eine Basis $a_1, ..., a_p$ von U, wobei $p \le n$. Ist $p = n$, so ist $dim \; U = dim \; V$ und $dim \; ker(f) = dim \; ker(f|_U)$, also $dim \; U + dim \; ker(f) = dim V + 0 = V$. Nehme also $p < n$ an, folglich beträgt $dim \; U = p$. Ergänze die Basis von U zu einer Basis $\{a_1, ... a_p, a_{p+1}, ..., a_n\}$ von V. Die Behauptung würde nun ja folgen, wenn $dim \; ker(f) \le n-p$ ist. Wie könnte man das zeigen mit der Voraussetzung $ker \; f|_U = \{0\}$? Oder gibt es einen anderen Weg? Für jeden Tipp wäre ich sehr dankbar! Viele Grüße, X3nion

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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 412
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-14

Hallo X3nion, aus $\ker f|_U=\{ 0 \}$ folgt $\ker f \cap U=\{ 0 \}$. Dann kannst du die Dimensionsformel für Untervektorräume benutzen. Gruß, David

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X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14

Hi DavidM, Danke dir für den Tipp, damit klappt es! Viele Grüße, X3nion

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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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