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  Vektorraum - Dimension und Anzahl der Elemente |
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MePep
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
 |  Themenstart: 2020-09-16
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Hallo,
Ich habe 3 sehr kurze Fragen:
1) Sei V ein 4-Dimensionaler $\mathbb{F}_{5}$-Vektorraum. Welche Dimension hat:
- ... ein echter Untervektorraum von V mit maximaler Dimension?
- ... ein Untervektorraum von V mit minimaler Dimension?
2) Wie viele Elemente hat $\mathbb{F}_{3}^{4}$ ?
3) (Gehört jetzt nicht direkt zur linearen Algebra aber zur Aufgabe) Wie viele Elemente hat $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$ ?
Meine Antworten:
1) Echter Unterraum mit max. Dimension hat Dimension 3
Unterraum mit minimaler Dimension hat Dimension 0 (Also = {0})
2) 3 * 3 * 3 * 3 = 81
3) Hier bin ich mir unsicher. Meine Antwort wäre 75 Elemente, nämlich von $0 + 75\mathbb{Z}$ bis $74 + 75\mathbb{Z}$. Es könnten aber auch unendlich viele sein (vermutlich eher das) wobei zwar z.B. $0 + 75\mathbb{Z}$ und $75 + 75\mathbb{Z}$ in dem Sinne "gleich" sind aber dennoch zwei Elemente. Was wäre da die richtige Antwort? Ich tendiere doch eher auf unendlich.
Mfg!
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-16
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Hallo MePep,
Deine Antworten bei 1) und 2) sind richtig.
Zu 3): \(0+75\mathbb{Z}\) und \(75+75\mathbb{Z}\) sind nicht nur "gleich", sondern gleich, \(0+75\mathbb{Z}=75+75\mathbb{Z}=\{\ldots,-150,-75,0,75,150,\ldots\}\). Damit hat \(\mathbb{Z}/75\mathbb{Z }\) \(75\) Elemente.
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DavidM
Senior 
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 412
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-16
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Hallo MrPep,
deine Antworten zu 1) und 2) sind richtig.
Zu 3): Deine erste Idee war die Richtige: $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$ hat 75 Elemente, denn in der Tat sind z.B. $0+75\mathbb{Z}$ und $75+75\mathbb{Z}$ dasselbe Element. $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$ ist ja definiert als Menge von Äquivalenzklassen und $0$ und $75$ liegen in derselben Äquivalenzklasse, diese Äquivalenzklasse ist aber nur ein Element.
Gruß,
David
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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MePep
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16
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MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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