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Universität/Hochschule Dgl zweiter Ordnung
hanuta2000
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  Themenstart: 2020-09-17

Hi, ich versuche gerade eine Altklausur zu rechnen, aber ich finde in der Vorlesung oder Übung keine Aufgabe die ähnlich ist an der ich mich orientieren kann. Vielleicht kann mir ja jemand damit helfen: \( y''=-\omega^2 y + sinx \) mit Anfangsbedingung \(y(0)=1 \) und \(y'(0)=0\), wobei \(\omega \neq 1\) Ich bin dankbar für jede Hilfe! LG


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-17

Hallo, Berechne die Lösung als Summe aus Lösung der zugehörigen homogenen DGL plus einer partikulären Lösung. Dabei kommt üblicherweise der Ansatz vom Typ der rechten Seite zur Anwendung. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]


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hanuta2000
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

Danke erstmal. Die homogone Lösung ist ja \(c_1 sin(\omega x) +c_2 cos(\omega x)\) Partikuläre Lösung sagt mir gerade nichts (wüsste zumindest nicht dass ich das schon mal gehört habe)


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-17

Hallo, der Suchbegriff "Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten" liefert heutzutage massenhaft Treffer mit Zusammenfassungen der Materie. Bspw. hier. Hast du denn kein Skript? Gruß, Diophant


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hanuta2000
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

Hi, ein Skript haben wir nicht. Nur mMn viele Videos die den Bogen überspannen und mir großteils nicht helfen. Ich hab es jetzt mal mit dem Link probiert den du mir geschickt hast. Ich fasse mal die wesentlichen Schritte zusammen: Weil \(+- i \omega\) NS des charakteristischen Polynoms, ist die homogene Lösung wie schon geschrieben: \(c_1cos(ωx)+c_2sin(ωx)\). Mit Variation der Konstanten komme ich auf die partikuläre Lösung \(C_1(x)cos(\omega x) +C_2(x) sin(\omega x) \) wobei \(C_1'(x)=-\frac{sin^2(\omega x)}{\omega} \) und \(C_2'(x) = \frac{sin(\omega x)cos(\omega x)}{\omega} \) Mit Integration von \(C_1'(x) ,C_2'(x)\)erhalte ich dann die Lösung \(y = c_1cos(ωx)+c_2sin(ωx) + C_1(x)cos(\omega x) + C_2(x)sin(\omega x) = c_1cos(ωx)+c_2sin(ωx) + \frac{sin(2 \omega x) - 2 \omega x}{4 \omega ^2} cos(\omega x) - \frac{cos^2( \omega x)}{2 \omega ^2} sin(\omega x)\) Hab ich das soweit richtig verstanden und berechnet?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, deine homogene Lösung passt. Was du da für die partikuläre Lösung gemacht hast, verstehe ich nicht. Insbesondere ist die Störfunktion hier einfach nur \(\sin(x)=\sin(wx)\) mit \(w=1\), wobei \(w\cdot i=i\) keine Lösung des charakteristischen Polynoms ist. Der Ansatz für die partikuläre Lösung ist damit einfach \[y_p=A\cos(x)+B\sin(x)\] wobei man A und B noch bestimmen muss. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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hanuta2000
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

also die allgemeine partikulären Lösung ist ja \(C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2 \) wobei \(y_1 =cos (\omega x), y_2 = sin(\omega x) \), eben die Basislösungen der homogenen Gleichung. Um jetzt \(C_1,C_2\) zu berechnen, muss ich ja folgendes lösen: \(y_1 C_1'(x) + y_2 C_2'(x) =0 \\ y_1' C_1'(x) + y_2' C_2(x) = sinx \) Wenn ich damit \(C_1',C_2'\) berechnen will, kommt das raus: \quoteon \(C_1'(x)=-\frac{sin^2(\omega x)}{\omega} \) und \(C_2'(x) = \frac{sin(\omega x)cos(\omega x)}{\omega} \) \quoteoff eventuell hab ich mich da auch verrechnet, aber sonst sind das doch die Lösungen die ich dann noch integrieren muss und dann hab ich damit die partikuläre Lösung. Hab ich mich da einfach irgendwo verrechnet, oder ist das generell schon falsch? LG


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2020-09-17 16:45 - hanuta2000 in Beitrag No. 6) also die allgemeine partikulären Lösung... \quoteoff was jetzt, eine partikuläre Lösung oder die allgemeine? Die Frage ist rhetorischer Art, denn es ist alles noch ein ziemliches Durcheinander... \quoteon(2020-09-17 16:45 - hanuta2000 in Beitrag No. 6) ist ja \(C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2 \) wobei \(y_1 =cos (\omega x), y_2 = sin(\omega x) \), eben die Basislösungen der homogenen Gleichung. Um jetzt \(C_1,C_2\) zu berechnen, muss ich ja folgendes lösen: \(y_1 C_1'(x) + y_2 C_2'(x) =0 \\ y_1' C_1'(x) + y_2' C_2(x) = sinx \) \quoteoff Wie kommst du auf Koeffizienten, die noch von x abhängen? \quoteon(2020-09-17 16:45 - hanuta2000 in Beitrag No. 6) Wenn ich damit \(C_1',C_2'\) berechnen will, kommt das raus: \quoteon \(C_1'(x)=-\frac{sin^2(\omega x)}{\omega} \) und \(C_2'(x) = \frac{sin(\omega x)cos(\omega x)}{\omega} \) \quoteoff eventuell hab ich mich da auch verrechnet, aber sonst sind das doch die Lösungen die ich dann noch integrieren muss und dann hab ich damit die partikuläre Lösung. Hab ich mich da einfach irgendwo verrechnet, oder ist das generell schon falsch? \quoteoff Letzteres. Den Ansatz für eine partikuläre Lösung habe ich dir doch in Beitrag #5 hingeschrieben (und man kann ihn den einschlägigen Tabellen wie in dem Link aus #3 entnehmen). Diese Lösung muss - wie jede Lösung - die eigentliche DGL erfüllen. Somit kann man durch Einsetzen der partikulären Lösung in die DGL die beiden Konstanten A und B bestimmen. Die allgemeine Lösung ist dann einfach die Summe \[y_{\text{allg.}}=y_h+y_p\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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hanuta2000
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

alles klar, war voll verpeilt. habs verstanden, \(A=0, B=\frac{1}{\omega ^2} \) richtig?


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hanuta2000
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

und für die Anfangsbedingungen ist \(c_1 =1, c_2 = -\frac{1}{\omega ^3}\) glaub ich :D


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2020-09-17 17:28 - hanuta2000 in Beitrag No. 8) alles klar, war voll verpeilt. \quoteoff Kenne ich. 😉 \quoteon(2020-09-17 17:28 - hanuta2000 in Beitrag No. 8) habs verstanden, \(A=0, B=\frac{1}{\omega ^2} \) richtig? \quoteoff Nein, das stimmt noch nicht ganz. \(A=0\) ist richtig (dabei sollte man ggf. nochmal auf die Bedingung \(\omega^2\neq 1\) verweisen, die ist nämlich genau an dieser Stelle entscheidend). \(B\) stimmt noch nicht. Leite die partikuläre Lösung \(y_p\) zweimal ab, gehe mit der zweiten Ableitung und \(y_p\) in die DGL ein und nehme einen Koeffizientenvergleich vor. Hinweis: auch für \(B\) ist \(\omega^2\neq 1\) von Bedeutung. \quoteon(2020-09-17 17:51 - hanuta2000 in Beitrag No. 9) und für die Anfangsbedingungen ist \(c_1 =1, c_2 = -\frac{1}{\omega ^3}\) glaub ich :D \quoteoff Lass uns erst die allgemeine Lösung klären. Vorher macht es keinen Sinn, Anfangsbedingungen einzusetzen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)


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hanuta2000
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

alles klar, dann habe ich ja folgendes: \( (\omega^2 -1) A cosx + (\omega ^2 -1)B sinx =sinx \) Damit der Cosinusteil wegfällt, muss A gleich 0 sein, denn Omega darf nicht 1 sein nach Bedingung (Wobei -1 erlaubt ist, sollte man das nicht auch verbieten?) Dann muss B damit die Gleichung aufgeht \( =\frac{1}{\omega^2 -1} \) sein, richtig?


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2020-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2020-09-17 18:04 - hanuta2000 in Beitrag No. 11) alles klar, dann habe ich ja folgendes: \( (\omega^2 -1) A cosx + (\omega ^2 -1)B sinx =sinx \) Damit der Cosinusteil wegfällt, muss A gleich 0 sein, \quoteoff Genau. \quoteon(2020-09-17 18:04 - hanuta2000 in Beitrag No. 11) denn Omega darf nicht 1 sein nach Bedingung (Wobei -1 erlaubt ist, sollte man das nicht auch verbieten?) \quoteoff Es ist aber ausdrücklich \(\omega^2\neq 1\) gefordert, das schließt ja beide Fälle ein. \quoteon(2020-09-17 18:04 - hanuta2000 in Beitrag No. 11) Dann muss B damit die Gleichung aufgeht \( =\frac{1}{\omega^2 -1} \) sein, richtig? \quoteoff Ja, jetzt passt es. Jetzt noch homogene und partikuläre Lösung zusammenpuzzeln - will sagen: addieren. Und dann die Anfangsbedingungen einsetzen, um \(C_1\) und \(C_2\) zu bestimmen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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hanuta2000
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

Dann ist \(c_1 =1,c_2 =-\frac{1}{\omega^3 -\omega} \) \quoteon Es ist aber ausdrücklich \(\omega^2\neq 1\) gefordert, das schließt ja beide Fälle ein. \quoteoff Also in der AUfgabenstellung so wie sie in der Altklausur steht und wie ich es oben geschrieben habe, ist nur omega ungleich 1 gefordert. Aber danke trotzdem!


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  Beitrag No.14, eingetragen 2020-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2020-09-17 18:13 - hanuta2000 in Beitrag No. 13) Dann ist \(c_1 =1,c_2 =-\frac{1}{\omega^3 -\omega} \) \quoteoff Ja, das stimmt beides. \quoteon(2020-09-17 18:13 - hanuta2000 in Beitrag No. 13) \quoteon Es ist aber ausdrücklich \(\omega^2\neq 1\) gefordert, das schließt ja beide Fälle ein. \quoteoff Also in der AUfgabenstellung so wie sie in der Altklausur steht und wie ich es oben geschrieben habe, ist nur omega ungleich 1 gefordert. \quoteoff Ups. Da war bei mir der Wunsch Vater des Gedankens. Ich würde aber doch stark annehmen, dass es sich hier um einen Fehler in der Aufgabenstellung handelt (bzw. dass aus dem Kontext \(\omega>0\) ersichtlich ist). Denn einen Unterschied machen die beiden Fälle bezogen auf die DGL ja nicht. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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hanuta2000
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

\quoteon Ich würde aber doch stark annehmen, dass es sich hier um einen Fehler in der Aufgabenstellung handelt (bzw. dass aus dem Kontext \(\omega>0\) ersichtlich ist). Denn einen Unterschied machen die beiden Fälle bezogen auf die DGL ja nicht. \quoteoff Ich habe gerade noch mal nachgeschaut. Diese Aufgabe war Teil b, in Teil a wurde gesagt, dass Omega größer als Null ist. Dann wirds wohl so gemeint sein, ich danke dir vielmals!


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Wally
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  Beitrag No.16, eingetragen 2020-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Wenn \( \omega=0\) ist, sieht die homogene Lösung ja auch anders aus, das ist dann \( y_h=c_1+c_2 x\). Man kann natürlich die Dgl (es bleibt \( y''=\sin x\)) auch direkt lösen, \( y=c_1+c_2 x-\sin x\), und aus \( y(0)=1\) folgt dann \( c_1=1\), aus \( y'(0)=0\) folgt \( c_2=1\). Viele Grüße Wally P.S. Weil die Lösungen differenzierbar von Parametern abhängen, hätte man das auch aus der Lösung für \( \omega\neq 0\) mit de l'Hospital ausrechnen könnnen, aber das ist schon ziemlich abgedreht.\(\endgroup\)


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