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Topologie » Diff.topologie/-geometrie » Struktur des Tangentialbündels
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Universität/Hochschule Struktur des Tangentialbündels
Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-19

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Hallo Matheplanet,

ich versuche gerade, das Tangentialbündel $TM$ einer $k$-dimensionalen, differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ zu verstehen, und zwar wenn möglich ohne formale Tricks wie $TM:=\bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM$. Die Definitionen, die ich gefunden habe, sind jedoch alle von dieser Art. Deshalb hier meine Gedanken dazu, wie ich mir eine sinnvolle Definition vorstelle. Ich bin sowohl für bessere Definitionen, als auch für Rückmeldung zur Sinnhaftigkeit meiner Definition unten dankbar.

Zunächst einmal wäre es wohl sinnvoll, das Tangentialbündel als ein differenzierbares Vektorbündel $\pi: TM\longrightarrow M$ zu definieren, dessen Faser Dimension $k$ hat. Außerdem sollte jede Faser $\pi^{-1}(p)$ zum Tangentialraum $T_pM$ isomorph sein. Es sollte also zu jedem Punkt $p\in M$ einen Vektorraumisomorphismus $\psi_p:T_pM\longrightarrow\pi^{-1}(p)$ geben, und zwar derart, dass diese Identifikation der Faser mit dem Tangentialraum auf differenzierbare Weise von $p$ abhängt. Ich stelle mir das so vor: Lege ich eine Kurve $\gamma:(a,b)\to M$, welche bezüglich Karten von $M$ stetig differenzierbar ist, in die Mannigfaltigkeit, dann kann ich an jedem Punkt der Kurve den Tangentialvektor $\gamma'(t)$ der Kurve anlegen, und die Zuordnung $(a,b)\to TM,~t\mapsto \psi_{\gamma(t)}(\gamma'(t))$ sollte dann stetig sein.
Dabei ist $\gamma'(t)\in T_{\gamma(t)}M$ als Abbildung
\[\gamma'(t):\left\{\begin{matrix}C^1(M)&\longrightarrow&\mathbb R\\
f&\mapsto&\left.\frac{\d}{\d s}f\circ\gamma(s)\right\vert_{s=t}
\end{matrix}\right.\] zu verstehen.

Kann ich also sagen, das Tangentialbündel ist ein differenzierbares Vektorbündel $\pi:TM\to M$ mit einer Familie $\left(\psi_p\right)_{p\in M}$ von Vektorraumisomorphismen $\psi_p:T_pM\longrightarrow \pi^{-1}(p)$, sodass für jede stetig differenzierbare Kurve $\gamma:(a,b)\to M$ die Kurve
\[\left\{\begin{matrix}(a,b)&\longrightarrow&TM\\
t&\mapsto&\psi_{\gamma(t)}(\gamma'(t))
\end{matrix}\right.\] stetig ist?


Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-20


Vielleicht hilft dir der letzte Satz vom Abschnitt "Topology and smooth structure" des Wikipediaartikels: "Explicitly, the tangent bundle to an $n$-dimensional manifold $M$ may be defined as a rank $n$ vector bundle over $M$ whose transition functions are given by the Jacobian of the associated coordinate transformations."

Deine Idee ist interessant, ich weiß aber nicht, ob sie funktioniert, da können andere sicher nochmal drüberschauen. (Aus dem Bauch heraus würde ich aber sagen, dass deine Definition in dieser Form nicht so gut sein kann, da sie mit stetigen Morphismen arbeitet, die Morphismen in der Kategorie der glatten/differenzierbaren Mannigfaltigkeiten aber glatt/differenzierbar sind.)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-20

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Hallo Kezer,

man sollte halt Sachen bis zum Ende durchlesen. Dann hätte ich den Satz auch selber finden können. Da muss ich mich erst nochmal genauer reindenken. Danke für den Tipp!

Was meine Konstruktion angeht, den Gedanken hatte ich auch schon im Hinterkopf. Vielleicht wäre es besser gewesen, genauer drauf zu achten, was für eine Mannigfaltigkeit vorliegt. Wenn eine $C^k$-Mannigfaltigkeit vorliegt, dann würde ich intuitiv erwarten, dass das Tangentialbündel eine $C^{k-1}$-Mannigfaltigkeit ist (und eine topologische Mannigfaltigkeit dann gar kein Tangentialbündel mehr hat). Abhilfe würde vielleicht schaffen, $\gamma$ als $C^k$-Kurve zu wählen, und zu verlangen, dass $\gamma'$ eine $C^{k-1}$-Kurve ist. Beziehungsweise bei einer glatten Mannigfaltigkeit eine $C^\infty$-Kurve zu verlangen, sodass auch $\gamma'$ eine $C^\infty$-Kurve ist.
Aber ich lege den Gedanken mal bei Seite, und versuche die Definition über das Differential nachzuvollziehen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-20


Diese Heuristik klingt eigentlich plausibel, vielleicht ist mein Bauchgefühl einfach nicht viel wert(/falsch).


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