Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Expliziter Isomorphismus zyklischer Gruppen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Expliziter Isomorphismus zyklischer Gruppen
MePep
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 145
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-20


Hallo,

Ich habe folgende Frage:

Betrachtet man die beiden Gruppen $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{*}$ und $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ so gilt:

1. In der Einheitengruppe:
ord(1)= 1
ord(2)= 3
ord(3)= 6
ord(4)= 3
ord(5)= 6
ord(6)= 2

2. In der Faktorgruppe:
ord(0)= 1
ord(1)= 6
ord(2)= 3
ord(3)= 2
ord(4)= 3
ord(5)= 6

Jetzt möchte ich einen Isomorphismus explizit angeben, also von $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{*} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Wie geht man dabei vor?

Das neutrale Element muss ja auf das neutrale Element abgebildet werden, also 1 -> 0. Desweiteren müssen erzeuger auf erzeuger abgebildet werden, also z.B. 3 -> 1. Wie sieht es mit den anderen Elementen aus?  Paart man einfach Elemente gleicher Ordnung oder muss man da auf mehr achten?

Mfg



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4737
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-20


Wenn $G$ eine Gruppe ist, so ist ein injektiver (bzw. bijektiver) Homomorphismus $\IZ/n\IZ \to G$ dasselbe wie die Angabe eines (erzeugenden) Elementes der Ordnung $n$. Wenn man so ein Element $g$ hat, bildet der Homomorphismus $[z]$ auf $g^z$ ab.

Für einen Isomorphismus $\IZ/6\IZ \to (\IZ/7\IZ)^{\times}$ muss man also nur ein Element der Ordnung $6$ in $(\IZ/7\IZ)^{\times}$ finden, aber das hast du ja bereits.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1092
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo MePep,

wenn du das Bild eines Erzeugers festgelegt hast, sind alle anderen Bilder schon festgelegt. Wenn $g$ nämlich ein Erzeuger ist, dann lässt sich jedes andere Element als $g^n$ schreiben. Wenn ein Homomorphismus $\varphi:g\mapsto\varphi(g)$ schickt, dann ist schon $g^n\mapsto \varphi(g)^n$ festgelegt (bzw. $n\varphi(g)$ wenn man die zweite Gruppe additiv schreibt).

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]