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Mathematik » Stochastik und Statistik » Aussagen wahr oder falsch
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Universität/Hochschule Aussagen wahr oder falsch
ThomasMuller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-21


Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind

(i) Sei A ⊂ Ω. Die Indikatorfunktion 1A ist A − B-messbar.
(ii) Für die Borelsche σ-Algebra B über R gilt 2^R ⊂ B (aber nicht gleich).

(iii) Es existieren stetige reellwertige Zufallsvariablen mit P(X = μ) = 0.2, wobei μ = E(X).

(iv) Für zwei beliebige Ereignisse positiver Wahrscheinlichkeit A, B ∈ A mit A ⊆ B gilt P(A|B) ≥ P(B|A).
(v) Stochastisch abhängige Zufallsvariablen sind korreliert.

Meine Lösungen sind:

i)  Richtig. Denn (Ω, A, ℙ) ein messbarer Raum. Die Indikatorfunktion 1A ist genau dann messbar, wenn A ∈ A

ii) Falsch. Ich bin nicht sicher, denn 2ℝ ⊂ B aber nicht gleich B ist.

iii) Falsch. Stetige Zufallsvariablen ⇒ P(X=μ) = 0

iv) Richtig. Ich habe ein Beispiel gemacht und P(A|B) ≥ P(B|A), ich bin aber auch nicht sicher...

v) Richtig.




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sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-21


Hallo ThomasMuller,

zu (i): Wie Du schon bemerkt hast, ist \(1_A\) genau dann messbar, wenn \(A\in\mathcal{A}\). Da aber nur \(A\subseteq\Omega\) vorausgesetzt wurde, ist diese Aussage im Allgemeinen falsch.

Zu (ii): Es gilt \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\subsetneq 2^{\mathbb{R}}\) und nicht umgekehrt!

Zu (iv): Wegen \(A\subseteq B\) gilt \(P(B|A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} =1\). Damit kannst Du Dir die Frage beantworten.

Zu (v): Unabhängige ZVen sind unkorreliert. Damit sind korrelierte ZVen abhängig. Es gibt aber umgekehrt durchaus abhängige ZVen die unkorreliert sind. Siehe z.B.



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