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| Autor |
  Familie von disjunkten Mengen ist abzählbar? |
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Math_user
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 637
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2020-09-24
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Guten Abend zusammen
Ich beschäftige mich gerade mit Masstheorie. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestossen: Ich soll zeigen, dass folgende Funktion ein Mass ist
$\mu(A)= 0$, falls $A$ abzählbar oder endlich ist oder $\mu(A)=\infty$ sonst.
Damit es ein Mass ist, sollte ja unteranderem gelten: Für eine Familie $(A_n)$ von disjunkten Mengen gilt: $\mu( \cup_{n \in \Bbb N} A_n)=\sum_{n \in \Bbb N} \mu (A_n)$.
Damit diese Gleichung stimmt muss also eine Familie $(B_n)$ von disjunkten Menge entweder abzählbar oder endlich sein. Nun gilt doch, dass eine solche Menge $( \cup_{n \in \Bbb N} B_n)$ abzählbar ist aber nicht unbedingt endlich ist, oder?
Dass heisst, z.B. die Funktion $\mu'(A)= 0$, falls $A$ endlich ist oder $\mu' (A)=\infty$ sonst keine Mass wäre.
(Das $\mu(\emptyset)=0$ gilt, ist klar.)
Stimmt meine Annahme, oder habe ich was übersehen?
Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Abend
Math_user
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 Profil
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-24
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Hallo,
\quoteon(2020-09-24 21:52 - Math_user im Themenstart)
Nun gilt doch, dass eine solche Menge $( \cup_{n \in \Bbb N} B_n)$ abzählbar ist aber nicht unbedingt endlich ist, oder?
\quoteoff
ich glaube du verstehst die Funktion noch nicht ganz richtig, oder ich verstehe die eigentliche Frage nicht.
$\mu(A)=0$ wenn $A$ eine abzählbare, oder eine endliche Menge ist.
Wenn wir abzählbare disjunkte endliche Mengen vereinigen, dann erhalten wir sicherlich keine endliche Menge mehr, aber immer noch eine abzählbare Menge.
Ebenso ist die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar.
Warum?
Es geht hier also nichts kaputt.
Oft wird auch zwischen abzählbaren Mengen, und endlichen Mengen gar nicht unterschieden. Endliche Mengen sind abzählbar.
\quoteon
Dass heisst, z.B. die Funktion $\mu'(A)= 0$, falls $A$ endlich ist oder $\mu' (A)=\infty$ sonst keine Mass wäre.
\quoteoff
Ja, nimm etwa die endlichen (disjunkten) Mengen $\{n\}$ mit $n\in\mathbb{N}$.
Dann gilt $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\}=\mathbb{N}$
Dann wäre $\infty=\mu'(\mathbb{N})=\mu'(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{n\})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu'(\{n\})=\sum_{n\in\mathbb{N}} 0=0$.
Also ein Gegenbeispiel.
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-26
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\quoteon(2020-09-24 22:25 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1)
Dann wäre $\infty=\mu'(\mathbb{N})=\mu'(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{n\})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu'(\{n\})=\sum_{n\in\mathbb{N}} 0=0$.
Also ein Gegenbeispiel.
\quoteoff
Hi PrinzessinEinhorn,
(erledigt)
Gruß Buri
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Math_user
Wenig Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 637
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26
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Vielen Dank für eure Antworten. @Buri ich habe eine neue Funktion $\mu'(A)$ definiert, wobei gilt:
$\mu'(A)= 0$, falls $A$ endlich ist oder $\mu' (A)=\infty$ sonst
Dies um zu sehen, ob ich den Unterschied verstanden habe. Dabei hat meines erachtens nach PrinzessinEinhorn recht, da in diesem Fall gilt:
$$\infty=\mu'(\mathbb{N})=\mu'(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{n\})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu'(\{n\})=\sum_{n\in\mathbb{N}} 0=0$$
Viele Grüsse,
Math_user
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Math_user hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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