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 Widerspruch mit Lebesgue-Maß |
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Math_user
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 |  Themenstart: 2020-09-25
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Guten Nachmittag zusammen
In einem Buch über Masstheorie wurde das Lebesgue-Maß besprochen. Dabei bin ich auf folgendes gestossen: Es existiert kein Menge $E \subset \Bbb R$ s.d. $\lambda (E \cap [a,b])= \frac{1}{2}(b-a)$, wobei gilt $a
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ochen
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-25
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Hallo,
magst du die Aufgabe mal im Originalwortlaut widergeben?
Was spricht gegen $E=(\frac 12a+\frac 12 b,\infty)$?
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Math_user
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-25
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https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51558_Bildschirmfoto_2020-09-25_um_17.39.45.png
Hier wäre die Originalversion... Sagt leider nicht viel mehr aus...
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tactac
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-25
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\quoteon(2020-09-25 17:41 - Math_user in Beitrag No. 2)
Hier wäre die Originalversion... Sagt leider nicht viel mehr aus...
\quoteoff
Doch. Das ‚for all‘ ist schon wichtig.
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Math_user
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26
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Du hast natürlich komplett recht, tut mir leid. Jedoch sehe ich noch nicht, wie ich am Besten einen Widerspruch finden soll.
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zippy
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-26
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Da $E\cap[a,b]$ für alle $-\infty
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Math_user
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich sehe grad noch nicht, weshalb $E\cap[a,b]$ für alle $-\infty
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-26
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\quoteon(2020-09-26 13:43 - Math_user in Beitrag No. 6)
Ich sehe grad noch nicht, weshalb $E\cap[a,b]$ für alle $-\infty
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Math_user
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26
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Ja klar! Vielen Dank. Nun nehmen wir die Masse, welche du definierst hast:
$\mu(A):=2\lambda(E\cap A)$, mit $\mu([a,b])=b-a$ definieren. Jedoch inwiefern bringt mich dies bei meinem Problem weiter. Ich nehmen, dass wir zeigen wollen, dass in diesem Fall $\mu([a,b])=\lambda([a,b])$ gilt. Was ja ein Widerspruch wäre aber ich blicke noch nicht durch.
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zippy
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-26
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\quoteon(2020-09-26 14:15 - Math_user in Beitrag No. 8)
Nun nehmen wir die Masse, welche du definierst hast:
\quoteoff
Ich habe nur eines definiert (nämlich $\mu$). Und das Ding ist ein Maß, kein Mass.
\quoteon(2020-09-26 14:15 - Math_user in Beitrag No. 8)
Ich nehmen, dass wir zeigen wollen, dass in diesem Fall $\mu([a,b])=\lambda([a,b])$ gilt.
\quoteoff
Das müssen wir nicht mehr zeigen, das ist aufgrund der Definition von $\mu$ klar.
Was wir zeigen müssen ist $\mu=\lambda$, also $\mu(A)=\lambda(A)$ für beliebige messbare Mengen $A$. Und hier kommt das erwähnte Eindeutigkeitsargument ins Spiel.
\quoteon(2020-09-26 14:15 - Math_user in Beitrag No. 8)
Was ja ein Widerspruch wäre aber ich blicke noch nicht durch.
\quoteoff
Ein Widerspruch ist das noch nicht sofort. Es wird aber einer, wenn wir z.B. $A=E\cap[a,b]$ betrachten.
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Math_user
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27
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Vielen Dank für deine Ausführung. Also wir haben ja $\mu([a,b])=\lambda([a,b])$ und somit erhalten wir mit der Eindeutig des Lebesgue-Maßes das $\mu(A)=\lambda(A)$ gilt für alle messbaren $A$. Nehmen wir nun, wie du sagst $B:=E \cap [a,b]$ so folgt, dass $B$ messbar ist und $\mu (B)=b-a \neq \frac{1}{2}(b-a)=\lambda(B)$. Dies ist aber ein Widerspruch. Stimmt meine Argumentation?
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zippy
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-27
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\quoteon(2020-09-27 15:29 - Math_user in Beitrag No. 10)
Stimmt meine Argumentation?
\quoteoff
Ja.
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