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  Das Innere, der Abschluss und der Rand |
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ThomasMuller
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 |  Themenstart: 2020-09-27
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Hallo zusammen,
ich habe die Aufgabe wie unten. Ich verstehe nicht, wie man den Rand berechnet hat und wie man das Grafik zeichnen kann?
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53563_Unbenannt.PNG
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
erkläre doch mal, was du genau unter der Menge
\[M=(1,2)\times[2,4)\]
verstehst.
Dann: wie sind die Begriffe Inneres, Abschluss und Rand definiert?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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ThomasMuller
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27
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\quoteon(2020-09-27 16:58 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
erkläre doch mal, was du genau unter der Menge
\[M=(1,2)\times[2,4)\]
verstehst.
Dann: wie sind die Begriffe Inneres, Abschluss und Rand definiert?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo Diophant,
Das Innere ist die größte offene Teilmenge,
der Abschluss ist die kleinste abschlossene Menge
und der Rand ist der Abschluss ohne das Innere
mit dem Rand: \sigma M = {1, 2} × [2, 4] ∪ [1, 2] × {2, 4} habe ich versteht.
{1, 2} × [2, 4] ist links und rechts
[1, 2] × {2, 4} ist oben und unten
Aber mit dem Grafik, warum (1,2) eine Linie ist?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-09-27 17:19 - ThomasMuller in Beitrag No. 2)
Das Innere ist die größte offene Teilmenge,
der Abschluss ist die kleinste abschlossene Menge
und der Rand ist der Abschluss ohne das Innere
mit dem Rand: \sigma M = {1, 2} × [2, 4] ∪ [1, 2] × {2, 4} habe ich versteht.
{1, 2} × [2, 4] ist links und rechts
[1, 2] × {2, 4} ist oben und unten
\quoteoff
Ok.
\quoteon(2020-09-27 17:19 - ThomasMuller in Beitrag No. 2)
Aber mit dem Grafik, warum (1,2) eine Linie ist?
\quoteoff
Wie du selbst schreibst: der Rand ist die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem. Das Rechteck ist aber an drei Seiten offen (links, oben und rechts). Nur der untere Rand des Rechtecks gehört zum Rand von M, da M ja das kartesische Produkt der beiden Intervalle \((1,2)\) (das ist ein offenes Intervall!) und \([2,4)\) (das ist ein halboffenes Intervall und besitzt bei 2 einen Randpunkt!) ist.
Also vereinfacht gesagt: nur an der unteren Seite des Rechtecks gibt es überhaupt einen Rand im geometrischen Sinn. Bzw.: die fette Linie in der Grafik stellt eben den Teil von M dar, wo der Rand zum Inneren von M gehört.
Ist es nun klarer?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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ThomasMuller
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27
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\quoteon(2020-09-27 17:27 - Diophant in Beitrag No. 3)
Hallo,
\quoteon(2020-09-27 17:19 - ThomasMuller in Beitrag No. 2)
Das Innere ist die größte offene Teilmenge,
der Abschluss ist die kleinste abschlossene Menge
und der Rand ist der Abschluss ohne das Innere
mit dem Rand: \sigma M = {1, 2} × [2, 4] ∪ [1, 2] × {2, 4} habe ich versteht.
{1, 2} × [2, 4] ist links und rechts
[1, 2] × {2, 4} ist oben und unten
\quoteoff
Ok.
\quoteon(2020-09-27 17:19 - ThomasMuller in Beitrag No. 2)
Aber mit dem Grafik, warum (1,2) eine Linie ist?
\quoteoff
Wie du selbst schreibst: der Rand ist die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem. Da das Rechteck aber an drei Seiten offen ist (links, oben und rechts), ist in diesem Bereich die Differenz leer. Nur der untere Rand geht in die Differenz ein, da M ja das kartesische Produkt der beiden Intervalle \((1,2)\) (das ist ein offenes Intervall!) und \([2,4)\) (das ist ein halboffenes Intervall und besitzt bei 2 einen Randpunkt!) ist.
Also vereinfacht gesagt: nur an der unteren Seite des Rechtecks gibt es überhaupt einen Rand. Bzw.: die fette Linie in der Grafik stellt eben den Rand von M dar.
Ist es nun klarer?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo Diophant,
jetzt ist mir alles klar. Vielen vielen Dank 😄😄
Lg TM
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-27
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Hallo nochmal,
ich habe im vorigen Beitrag ein wenig Unsinn geschrieben (ich war abgelenkt, sorry). Ich habe das nun korrigiert, lies es dir besser nochmals durch.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von Diophant]
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ThomasMuller hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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