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Mathematik » Zahlentheorie » Primzahlzwillinge im Intervall
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Kein bestimmter Bereich Primzahlzwillinge im Intervall
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-30 16:54


Hallo, kann mir bei dieser Vermutung nicht erklären warum alle $p$ der Primzahlzwillinge stets und mit wachsender Anzahl die Endziffer(n) $9$ haben:

Sei $f:=n!$ mit $ n\in\lbrace5,7,9,11\dots\rbrace$ Mit $k \in \mathbb{N}, \;\; k_i<\frac{f_i}{3}$.
So seien $P_{Z}$ Primzahlzwillinge $P_{Z}=( p,p+2)\in \mathbb{P}$ für die gilt: $P_{Z}:=\left( \frac{f_i-k_j}{k_j},\frac{f_i-k_j}{k_j}+2\right)$ dann gilt vermutlich: $\forall f_i\; \exists f_{i+1}: P_Z(f_{i+1}) > P_Z(f_{i})$
319! hat z.B. 77 * 9 als Endziffern
Text
5! Pz=(59,61), k = 2  [1 * 9]
7! Pz=(419,421), k = 12  [1 * 9]
9! Pz=(7559,7561), k = 48  [1 * 9]
11! Pz=(7983359,7983361), k = 5  [1 * 9]
13! Pz=(141523199,141523201), k = 44  [2 * 9]
15! Pz=(54486431999,54486432001), k = 24  [3 * 9]
17! Pz=(59281238015999,59281238016001), k = 6  [3 * 9]
19! Pz=(6082255020441599,6082255020441601), k = 20  [2 * 9]
21! Pz=(2688996956405759999,2688996956405760001), k = 19  [4 * 9]
23! Pz=(68031622997065727999,68031622997065728001), k = 380  [3 * 9]
25! Pz=(58754583497465855999999,58754583497465856000001), k = 264  [6 * 9]
27! Pz=(209401335584968310783999999,209401335584968310784000001), k = 52  [6 * 9]
29! Pz=(252621771249705770129817599999,252621771249705770129817600001), k = 35  [5 * 9]
31! Pz=(411141932708896140886278143999999,411141932708896140886278144000001), k = 20  [6 * 9]
33! Pz=(47710536367098277447902167039999999,47710536367098277447902167040000001), k = 182  [7 * 9]
35! Pz=(134196726836183700385281186201599999999,134196726836183700385281186201600000001), k = 77  [8 * 9]
37! Pz=(96250021616967447876335521549516799999999,96250021616967447876335521549516800000001), k = 143  [8 * 9]
39! Pz=(141651958897204467768335289860436787199999999,141651958897204467768335289860436787200000001), k = 144  [8 * 9]
41! Pz=(348463818887122990710104813056674496511999999999,348463818887122990710104813056674496512000000001), k = 96  [9 * 9]
43! Pz=(1313375283986387731246850697141608641462271999999999,1313375283986387731246850697141608641462272000000001), k = 46  [9 * 9]
45! Pz=(1220634906790614230224113892812833827187589119999999999,1220634906790614230224113892812833827187589120000000001), k = 98  [10 * 9]
47! Pz=(2873591572346313118255159501706799777435529248767999999999,2873591572346313118255159501706799777435529248768000000001), k = 90  [9 * 9]
49! Pz=(1086217614346906358700450291645170315870630056034303999999999,1086217614346906358700450291645170315870630056034304000000001), k = 560  [9 * 9]

Hat jemand einen Tipp womit das zusammenhängen kann / zu erklären ist ?


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Gruß haegar



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-30 17:02


Da die Fakultät auf viele 0er endet und du nicht durch große Zehnerpotenzen teilst, endet die Zahl zwischen deinen Zwillingen ebenfalls auf viele 0er.
Subtrahiert man 1, erhält man entsprechend viele 9er.


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-30 17:17


Wenn ich das richtig blicke, setzt Du für n=3,5,7,...usw ein und erzeugst ein Vielfaches...solange, bis +/- 1 Zwillinge sind,oder ?

Wenn dem so ist, nun.. n! hat immer die Endung "0" und ist Vielfaches von 6. Alle Zwillinge sind immer 6k-1 und 6k+1. Damit ist hier bei 6k immer die Endung "0",sodass 9 und 1 die beiden Endziffern der Zwillinge sind.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30 17:34


Hallo zusammen, danke für die Antworten.🙂

Das Vorgehen ist basierend auf einer Fakultät
z.B. 5! (120) oder 7! (5040) beginnend mit k=1 fortlaufend.

$\frac{5040-k}{k}:\frac{5040-1}{1},\frac{5040-2}{2},\frac{5040-3}{3},\dots$ bis der erste Zwilling $(p,p+2)$ gefunden ist.
Im Fall 7! ist $k=12$.


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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-30 17:36


Änderung: Ja, ist klar.

(n!-kj)/kj = n!/kj - 1. Solange kj nicht exakt den selben Teiler 5^z inne hat, wie n! , dann hat man Endung 0.

7!=5040, hat nur 5 als Teiler
10! hat 5*5 als Teiler.

Der einzige Fall für nicht Endung 0 ist 5040/5-1=1007, da kj=5 den selben Teiler einer 5er Potenz hat, wie 7!

Anmerkung

"319! hat z.B. 77 * 9 als Endziffern"

319/5 = 63
319/25= 12
319/125= 2

Summe 77


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30 18:12


2020-09-30 17:36 - pzktupel in Beitrag No. 4 schreibt:

Anmerkung

"319! hat z.B. 77 * 9 als Endziffern"

319/5 = 63
319/25= 12
319/125= 2

Summe 77

Ja, das ist so verständlich.
Im Falle $5|k$ reduziert sich die Rechnung jedoch entsprechend, Bsp.:

27! Pz=(209401335584968310783999999,209401335584968310784000001),
k = 52  [6 * 9]

aber

29! Pz=252621771249705770129817599999,252621771249705770129817600001),
k = 35  [5 * 9]


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Gruß haegar



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01 00:40


Kann es ein $k$ geben für welches gilt:
$5^x|k, x>1$ ?


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Gruß haegar



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-01 07:15


Was ist x ?

Meinst Du, wenn 5^z k teilt, sodass (n! - k )/k +-1 ein Zwilling und nicht auf 9 und 1 endet ?


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