Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 10.06.2023 07:19 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von nzimme10
Analysis » Maßtheorie » Schreibweise mit Maßfunktion
Autor
Universität/Hochschule Schreibweise mit Maßfunktion
Math_user
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 637
Wohnort: Deutschland
  Themenstart: 2020-10-03

Guten Abend zusammen Ich scheitere gerade an einer Notation. Sei zunächst Seien $f,g$ messbare positive Funktionen. Nun möchte ich gerne zeigen: $\int fg d\lambda=\int fd(g\lambda)$. Nun weiss ich schon, dass $fd\lambda$ ein Mass ist auf $(M,{\mathcal {A}})$. Nun haben meine Recherchen ergeben, dass der Beweis nicht schwer ist. Man muss nur zweimal den Satz den monotonen Konvergenz benutzen. Also: Da $f$ eine positive und messbare Funktion ist, existieren Treppenfunktionen $h_n$ die nach $f$ konvergieren und dies noch wachsend. Sprich ich kann den oben genannten Satz verwenden und erhalte: $\int f g d\lambda = \text{lim}_{n \to \infty}\int h_n g d \lambda=\text{lim}_{n \to \infty}\int h_n d g \lambda = \int f d(g \lambda) $ Nun verstehe ich aber die Schreibweise $d(g \lambda)$ nicht, weshalb kann ich dies plötzlich aus umtauschen damit folgendes gilt: $g d\lambda=d(g \lambda)$? Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Abend

   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-03

Hallo Math_user, mit \(g\lambda\) ist hier das Maß \(\lambda_g\) (diese Notation ist vielleicht weniger verwirrend) definiert durch \(\lambda_g(A):=\int_Ag\,d\lambda\) gemeint. Zu beweisen ist dann \(\int fg\,d\lambda = \int f\,d\lambda_g\). Wenn \(f=\chi_A\) ist, gilt \(\int fg\,d\lambda = \int \chi_Ag\,d\lambda = \int_Ag\,d\lambda = \lambda_g(A) = \int\chi_A\,d\lambda_g = \int f\,d\lambda_g\). Mit der Linearität kannst Du das auf einfache Funktionen übertragen. Wie man das dann auf nichtnegative Funktionen überträgt, hast Du ja schon gezeigt.

   Profil
Math_user hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]