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Analysis » Ungleichungen » Ungleichung
Autor
Universität/Hochschule J Ungleichung
paulster
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 129
Wohnort: Wien
  Themenstart: 2020-10-10

Hallo, ich bin mir grade nicht sicher, aber kann man aus $\frac{x}{1+x} < \frac{\epsilon}{1+\epsilon} $schließen, dass $x < \epsilon$ ? x ist dabei eine positive Zahl und epsilon ebenfalls. Hat vlt. jemand eine Idee, wie man das beweist, oder ist das garnicht korrekt? LG Paul

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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, zwei Äquivalenzumformungen, und das gewünschte steht da. 🙂 Allerdings: nur für \(x>-1\) und \(\varepsilon>-1\). Aber das ist hier ja gegeben. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)

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paulster
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.09.2020
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Wohnort: Wien
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10

Danke Diophant ;)

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Tetris
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-10

Da beide Seiten positiv sind, geht es auch so: \[\dfrac{x}{1+x} < \dfrac{\epsilon}{1+\epsilon}\\[20pt] \dfrac{x}{1+x-x} < \dfrac{\epsilon}{1+\epsilon-\epsilon}\\[20pt] x < \epsilon\] Lg, T. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

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paulster
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Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 129
Wohnort: Wien
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10

Danke auch Tetris 😄

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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-10

Huhu, da beide Seiten positiv sind, greift auch das Monotoniegesetz der Inversion: \(\displaystyle \dfrac{x}{1+x} < \dfrac{\epsilon}{1+\epsilon}\Rightarrow \dfrac{x+1}{x} > \dfrac{1+\epsilon}{\epsilon}\Rightarrow \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{\epsilon}\) Von 2 Stammbrüchen ist derjenige größer, der den kleineren Nenner hat. Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-10

Es folgt direkt aus $\displaystyle \frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}.$

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paulster
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Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 129
Wohnort: Wien
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10

Danke euch für eure raschen und zahlreichen Antworten 😃

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