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Funktionentheorie » Holomorphie » Richtige Anwendung des Identitätssatzes
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Beruf Richtige Anwendung des Identitätssatzes
sulky
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  Themenstart: 2020-10-16

\quoteon(ursprünglicher Beitrag) Hallo zusammen, Ich stolpere über folgendes Problem: sei $\Omega \subset \mathbb{C}$ und $g:\Omega\to \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion. Weiter sei $f:(0,1)\to \mathbb{C}$ sodass $f(z)=g(z)$ $\forall z\in (0,1) $. Meine Frage ist nun, ob dadurch die Funktion $g$ bereits auf ganz $\Omega$ eindeutig definiert ist oder nicht. Wenn ich nun den Identitätssatz google, dann geht es mit den Bedingungen einfach nicht ganz auf. Es scheitert immer daran, dass $(0,1)$ lediglich in $\mathbb{R}$ offen ist, aber nicht in $\mathbb{C}$. Nach der Formulierung des Identitätssatzes für Gebiete müssen die zwei Funktionen auf dem ganzen Gebiet übereinstimmen. Aber ist $(0,1)$ wirklich ein Gebiet? Ich muss ehrlich zugeben, dass ich im letzten Jahr im Kurs "Topologie II" ganz schlecht war und diesen nun wiederholen muss. Dies wird mir möglicherweise jetzt auch in der komplexen Analysis zum Verhängniss. Erzwingen die genannten Bedingungen nun dass $g$ auf ganz $\Omega$ eindeutig definiert ist? \quoteoff


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-16

Ich nehme einmal an, dass $\Omega$ ein Gebiet mit $(0,1) \subseteq \Omega$ ist und dass $f : \Omega \to \IC$ ebenfalls eine holomorphe Funktion sein soll, und dass die Annahme dann lautet, dass $f(z)=g(z)$ für alle $z \in (0,1)$ gilt. Ansonsten würde die Frage wenig Sinn ergeben. Du hast bereits richtig festgestellt, dass $(0,1)$ kein Gebiet ist. Aber es gibt ja verschiedene Varianten des Identitätssatzes. Zum Beispiel gilt $f=g$ bereits dann, wenn $\{z \in \Omega : f(z)=g(z)\}$ einen Häufungspunkt in $\Omega$ hat. Und das ist hier offensichtlich der Fall.


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo sulky, der Identitätssatz sagt im Wesentlichen aus, dass wenn eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet an abzählbar vielen Stellen bekannt ist, und diese Stellen einen Häufungspunkt innerhalb des Gebiets haben, dann die Funktion bereits eindeutig festgelegt ist. Dass die Stellen, an denen die Funktion bekannt ist, eine offene Menge bilden, ist nicht notwendig. Zurück zu deinem Beispiel: Ich gehe davon aus, dass $\Omega$ ein Gebiet ist und $(0,1)\subset\Omega$. Da $(0,1)$ Häufungspunkte besitzt, ist $g$ also an abzählbar vielen Stellen mit Häufungspunkt bekannt, und damit eindeutig bestimmt (wenn es sich tatsächlich um ein Gebiet handelt). Viele Grüße Vercassivelaunos [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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sulky
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-16

Hallo Triceratops und Vercassivelaunos, Ja $(0,1)\subset \Omega $ habe ich vergessen. Ob $\Omega $ ein Gebiet ist habe ich mir nicht überlegt. Bewusst habe ich $\Omega \subset \mathbb{C}$ anstatt $\mathbb{C} $ gewählt, weil sonst die Aussage abgeschwächt würde. ist $f$ auch holomorph? Ich denke nicht. Kann eine Funktion welche lediglich auf einer Teilmenge von $\mathbb{R}$ definiert ist überhaupt holomorph sein? Ja, dass die Menge $\{z\in (0,1)|f(z)=g(z)\}$ in $(0,1)$ einen Häufungspunkt hat -sowie auf Wikipedia beschrieben- dies ist mir auch aufgefallen. Aber zwei Zeilen weiter oben steht ja: Seien $G\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet und f,g auf diesem Gebiet holomorphe Funktionen... ...Dies ist ja nicht der Fall. Es existiert ja kein Gebiet $G$ auf welchem auch $f$ holomorph ist. Daher weiss ich nicht, was ich damit anfangen kann dass dieser Häufungspunkt existiert.


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-16

Deine Frage ist doch, ob $g$ durch die Werte $g(z)$ mit $z \in (0,1)$ bereits eindeutig bestimmt ist. Das bedeutet aber ausformuliert gerade, dass jede andere Funktion $g'$ mit denselben Eigenschaften wie $g$ und denselben Werten auf $(0,1)$, also $g(z)=g'(z)$ für $z \in (0,1)$, schon mit $g$ übereinstimmt (also $g=g'$). (Ich habe oben halt nur $g'$ mit $f$ bezeichnet.) Dieses $g'$ ist also insbesondere holomorph auf $\Omega$. Falls du etwas anderes mit "eindeutig bestimmt" meinst, erkläre es bitte. Wenn $\Omega$ kein Gebiet ist, ist die Antwort auf die Frage "Nein". Überlege dir Gegenbeispiele.


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sulky
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-16

\quoteon(2020-10-16 01:37 - Triceratops in Beitrag No. 4) Deine Frage ist doch, ob $g$ durch die Werte $g(z)$ mit $z \in (0,1)$ bereits eindeutig bestimmt ist. \quoteoff Ja genau, das ist die Frage. Und ich weiss auch dass es so ist. Damit es aber korrekt bewiesen ist muss man sich an die Formulierungen des Identitätssatzes halten und dieser verlangt eine zweite holomorphe Funktion. Nennen wir diese $g'$ oder $f$. Bestimmt kann man die Aussage auch anders beweisen als mit dem identitätssatz, aber bleiben wir mal bei diesem Satz. Ich bezweifle dass $g'$ holomorph ist. Für holomorphe Funktionen gilt doch die Cauchy-Riemann beziehung $\frac{\partial g'}{\partial x}=i\frac{\partial g'}{\partial y}$. Da aber $g'$ ausserhalb $(0,1)$ nicht definiert ist gilt doch $\frac{\partial g'}{\partial y}=error$


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Ein Objekt $A$ ist eindeutig durch die Eigenschaft $E$ bestimmt, wenn jedes weitere Objekt $B$ mit der Eigenschaft $E$ zu $A$ identisch ist, also "$B$ hat Eigenschaft $E$" $\Longrightarrow$ $B=A$. Nun ist eine holomorphe Funktion $g:\Omega\to\C$ eindeutig durch ihre Werte auf $(0,1)$ bestimmt, denn jede weitere holomorphe Funktion, welche auf $(0,1)$ mit $g$ übereinstimmt, ist identisch zu $g$. Wie genau man die Werte festlegt (zum Beispiel darüber, dass man auf $(0,1)$ eine beliebige Funktion definiert, mit der $g$ auf diesem Intervall übereinstimmen soll), ist dabei Wurst. Vergiss einfach, dass die Bedingung $g(z)=f(z)$ lautet, und denke nur daran, dass $g$ auf $(0,1)$ festgelegt ist, und dass jede weitere holomorphe Funktion mit dieser Eigenschaft identisch zu $g$ sein muss. Implizit steht natürlich fest, dass $f$ eine Funktion sein muss, die sich holomorph nach $\Omega$ fortsetzen lässt, sonst könnte $g$ ja gar nicht holomorph sein. Aber solange die Art, auf die $g$ festgelegt wird, mit der Holomorphie in Einklang ist, ist es egal, wie genau die Festlegung durchgeführt wurde. Deshalb wie gesagt: Vergiss, dass die Bedingung $f(z)=g(z)$ lautet, und konzentriere dich darauf, dass es eine Bedingung gibt, die $g$ auf $(0,1)$ festlegt.\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-16

\quoteon(2020-10-16 01:51 - sulky in Beitrag No. 5) Ich bezweifle dass $g'$ holomorph ist. Für holomorphe Funktionen gilt doch die Cauchy-Riemann beziehung $\frac{\partial g'}{\partial x}=i\frac{\partial g'}{\partial y}$. Da aber $g'$ ausserhalb $(0,1)$ nicht definiert ist gilt doch $\frac{\partial g'}{\partial y}=error$ \quoteoff $g'$ ist auf $\Omega$ definiert, weil es $g$ ist. Das schreibe ich auch in meinem Beitrag.


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sulky
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18

Vielen Dank schonmal für euren bisherigen Bemühungen, Triceratops und Vercassivelaunos, Für das bessere Verständnis poste ich mal die Aufgabe. 1) Zeige dass für jedes $z\in \Omega$ das Integral $I_z=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{1+z\cdot sin(t)}$ wohldefiniert ist und dass $z\to I_z$ holomorph ist. 2) Man nehme an dass für jedes $a\in (0,1)$ gilt: $I_a=\frac{2\pi}{\sqrt{1+a-2}}$ Zeige dass für jedes $z\in\Omega$ gilt: $I_z=\frac{2\pi}{(1-z^2)^{\frac{1}{2}}}$ Den Identitätssatz habe ich in unseren Lehrmittlen (bisher!!) noch nicht gefunden. Möglicherweise wird uns dieser Satz bewusst erst zu einem späteren Zeitpunkt vorgestellt. Stattdessen haben wir aber ein Korollar, welches praktisch dasselbe aussagt. Korollar: Sei $\Omega\subset \mathbb{C}$ offen und zusammenhängend. f und g seien zwei holomorphe Funktionen. Damit $f=g$ auf ganz $\Omega$ genügt es dass eine Untermenge $A\subset \Omega$ existiert auf welcher die Koinzidenzmenge $\{z\in a:f(z)=g(z)\} $ einen Häufungspunkt hat. Ob ich nun diese Korollar aus unseren Unterlagen oder den Identitätssatz von Wikipedia verwende, das Problem bleibt dasselbe. Dieses Korollar verlangt zum Glück weder dass $A$ offen ist, noch dass $A$ ein Gebiet ist. Aber es wird verlangt, dass $f$ und $g$ holomorph sind. Nun wurde in Teilaufgabe 1) gezeigt dass $I_z$ holomorph ist. Aber was ist mit $I_a$?


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) \quoteon Ob ich nun diese Korollar aus unseren Unterlagen oder den Identitätssatz von Wikipedia verwende, das Problem bleibt dasselbe. \quoteoff Die Antwort bleibt auch von uns beiden dieselbe. Aber vielleicht mal mit neuem Ansatz: Die Funktion $f$ aus deinem Startbeitrag ist nicht die Funktion $f$ aus dem Identitätssatz. Du willst zeigen, dass jede weitere Funktion neben $g$, die ebenfalls auf $(0,1)$ mit $f$ übereinstimmt, identisch zu $g$ ist. Diese weiteren Funktionen sind jene, die im Identitätssatz mit $f$ bezeichnet werden. Das, was du im Startbeitrag mit $f$ bezeichnest, ist nur eine nebensächliche Hilfskonstruktion, die aussagt, dass $g$ auf $(0,1)$ fest gewählte Werte hat. Deshalb meine Aufforderung, diese Funktion $f$ zu ignorieren. Mal in kurz und knackig: Seien $g,\tilde g:\Omega\to\C$ holomorphe Funktionen mit $g(z)=f(z)$ und $\tilde g(z)=f(z)$ für alle $z\in (0,1)$. Dann ist $g(z)=\tilde g(z)$ für alle $z\in(0,1)$, und nach Identitätssatz somit $g\equiv \tilde g$. Daher ist $g$ eindeutig.\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-18

\quoteon(2020-10-18 22:30 - sulky in Beitrag No. 8) Aber was ist mit $I_a$? \quoteoff Die Funktion $f\colon(0,1)\to\mathbb R$, $a\mapsto\frac{2\pi}{\sqrt{1-a^2}}$ ist deine Funktion $f$ aus dem Startbeitrag. Wesentlich ist jetzt, dass diese Funktion die holomorphe Fortsetzung $\tilde f\colon\Omega\to\mathbb C$, $z\mapsto\frac{2\pi}{\sqrt{1-z^2}}$ besitzt. Dann sagt dein Korollar $\tilde f(z)=I_z$, denn für $z\in(0,1)$ gilt $\tilde f(z)=f(z)=I_z$.


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sulky
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