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 Fürstenberg-Topologie [war: Notation] |
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paulster
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Dabei seit: 27.09.2020
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Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2020-10-16
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Hallo Leute,
was bedeutet folgende Notation?
$B := \{a + b\mathbb{Z}: a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, b \geq 1\} \cup \{\emptyset\} \subset P(\mathbb{Z})$
Was bedeutet die ganzen Zahlen multipliziert mit einer natürlichen Zahl ? Wie sieht denn diese menge ca. aus ?
LG Paul
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-16
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Mit $a+b\IZ$ ist die Menge $\{a+bz : z \in \IZ\}$ gemeint. Also
$\{a, a+b, a-b, a+2b,a-2b, \dotsc\}.$
Du schaust dir wohl gerade die Fürstenberg-Topologie auf $\IZ$ an?
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paulster
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-16
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Hallo Triceratops,
danke für deine rasche Antwort. Dass diese Menge so heißt, war mir garnicht bekannt, ich versuche mich gerade an den neuen Analysis Aufgaben für nächste Woche:
$B := \{ a + b\mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, b \geq 1\} \cup \{\emptyset\} \subset P(\mathbb{Z}), \quad T := \{\bigcup_{i \in I} O_{I}: I \,Menge, O_{i} \in B\}. $
Zeige, dass $T$ eine Topologie auf $\mathbb{Z}$ ist, dass für jede Menge $O \in B$ das Komplement $\mathbb{Z} \setminus O$ in $T$ liegt, und dass jede nichtleere offene Menge unendlich viele Punkte enthält.
Bestimme $\bigcup\{p\mathbb{Z}: p > 1, p \,Primzahl \}$, und folgere dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Meintest du diese Topologie ?
LG Paul
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paulster
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17
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Guten Morgen,
hat vielleicht jemand eine Idee, wie man denn zeigt, dass jede nichtleere offene Menge unendlich viele Punkte enthält (Angabe oben) ?
Zu dem zweiten Punkt hätte ich nur die Idee, dass man ganze Zahlen als Primzahlen darstellen könnte (für natürliche Zahlen Primfaktorenzerlegung) und damit die Endlichkeit begründen, wenn man denn ganze Zahlen so darstellen kann/darf ?
LG Paul
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paulster
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17
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Jo Leute, kann man das evtl. so zeigen ?
$ Sei \,A \in T\setminus\{\emptyset\}, also \,A = \bigcup_{i \in I} O_{i}: I \,Menge, O_{i} \in B.\\
Annahme: A = \{a_{1}, ... , a_{n}\} \implies \forall i \in I: O_{i} \,endlich.\\ $
Also müssen wir nun zeigen, dass eine beliebige Menge aus B nicht endlich ist. Kann man dann nicht eine Bijektion zwischen einer solchen Menge und $\mathbb{Z}$ definieren, also :
$ O_{i} = \{a,a+b,a-b,...\}; \mathbb{Z} = \{0,1,-1,2,-2,...\}; \\
f: A \to \mathbb{Z}: \\
(a + bz) \to bz $
Diese Abbildung ist aber nicht bijektiv, gibts eine andere Möglichkeit, habt ihr eine Idee ?
LG Paul
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paulster
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17
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Also im Prinzip ist es ja klar, dass eine solche Menge nicht endlich ist, aber wie zeigt man das am Besten 🤔
Oder ist das trivial ?
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-17
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\quoteon(2020-10-17 11:04 - paulster in Beitrag No. 5)
Also im Prinzip ist es ja klar, dass eine solche Menge nicht endlich ist, aber wie zeigt man das am Besten 🤔
Oder ist das trivial ?
\quoteoff
Wenn du dir noch nicht sicher bist, ob das trivial ist oder nicht, mach dir nochmal bewusst wie die nicht-leeren offenen Mengen der Topologie aussehen. (Es genügt, eine nicht-leere Basis-Menge zu betrachten.) Die wichtige Konsequenz der Aussage ist, dass endliche Mengen nicht offen sein können.
Für den Primzahlbeweis, folge der Anleitung:
\quoteon(2020-10-16 20:50 - paulster in Beitrag No. 2)
Bestimme $\bigcup\{p\mathbb{Z}: p > 1, p \,Primzahl \}$
\quoteoff
Welche Teilmenge von $\mathbb{Z}$ ist das? Um zu schließen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, musst du einerseits die oben gewonnene Aussage ausnutzen, und andererseits verwenden, dass die Basis-Mengen der Topologie sowohl offen als auch abgeschlossen sind (das ist ein anderer Teil deiner Aufgabe, den du ja vielleicht schon bewiesen hast).
Grüße,
PhysikRabe
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von PhysikRabe]
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Triceratops
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-17
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@paulster: $\IZ \to a + b\IZ$, $z \mapsto a+bz$ ist offensichtlich bijektiv. Jede nicht-leere offene Menge enthält eine Menge der Form $a+b\IZ$ (so ist die Topologie definiert), ist also unendlich.
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paulster
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|  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17
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Danke euch beiden,
also kann ich die Unendlichkeit z.B. durch diese obige Bijektion begründen ?
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PhysikRabe
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-17
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\quoteon(2020-10-17 15:10 - paulster in Beitrag No. 8)
Danke euch beiden,
also kann ich die Unendlichkeit z.B. durch diese obige Bijektion begründen ?
\quoteoff
Ja, natürlich. Es ist einfach die mathematische Formulierung der (gewissermaßen offensichtlichen) Aussage, dass die nicht-leeren Basismengen der Topologie aus unendlichen arithmetischen Folgen bestehen (so sind sie ja definiert), daher unendlich sein müssen.
Grüße,
PhysikRabe
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