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 Beweis Beispiel Binomischer Lehrsatz |
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Spedex
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 |  Themenstart: 2020-10-18
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Hallo, folgende Aufgabenstellung:
Beweisen Sie folgende Ungleichung mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:
\[{(1+x)}^n\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
für \(x\geq0,\ n\in\mathbb{N}_0\)
Mein Ansatz war dabei folgender:
Für den Binomialkoeffizienten gilt ja:
\[\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)=\frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}\]
Für \(\sum_{k=2}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k}\) gilt:
\[\sum_{k=2}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k}=\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Bei einem k-Wert von 0 ergibt sich: 1
Bei einem k-Wert von 1 ergibt sich: \(n*x\)
Somit könnte man jetzt sagen:
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Aber ist das so richtig? Ist der Beweis damit abgeschlossen?
LG
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das hier:
\quoteon(2020-10-18 14:29 - Spedex im Themenstart)
\[\sum_{k=2}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k}=\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
\quoteoff
stimmt aber nicht, sondern es ist
\[{n \choose 2}\cdot x^2=\frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot x^2\]
\quoteon(2020-10-18 14:29 - Spedex im Themenstart)
Somit könnte man jetzt sagen:
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Aber ist das so richtig? Ist der Beweis damit abgeschlossen?
\quoteoff
Noch nicht ganz. Die Anwendung des Binomischen Lehrsatzes wie oben funktioniert hier ja nur ab \(n\ge 2\). Die Fälle \(n=0\) und \(n=1\) musst du m.A. nach noch gesondert nachrechnen.
Der Binomische Lehrsatz funktioniert selbstverständlich für alle natürlichen Zahlen, aber der Term \({n \choose 2}\cdot x^2=\frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot x^2\) sollte in deiner Abschätzung ja auf jeden Fall enthalten sein. Von daher die Einschränkung auf \(n\ge 2\).
Und noch eine Anmerkung. Die Definition der natürlichen Zahlen ist hier in deinen Unterlagen offensichtlich ohne die Null realisiert. Daher braucht man hier eine weitere Menge \(\IN_0\), welche die Null auch enthält. Das ist sehr holprig und auch veraltet. Du solltest es besser nicht übernehmen, sondern wo möglich unter \(\IN\) immer die Menge \(\lbrace 0,1,2,\dotsc\rbrace\) verstehen.
Siehe dazu auch diesen Artikel.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Ja, das mit dem \(\sum_{k=2}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k}=\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\) war unachtsam von mir.
Wieso allerdings muss ich das gesondert für die Fälle \(n=1\) und \(n=0\) zeigen?
Reicht der Term nicht aus?:
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Auf jeden Fall gilt anscheinend dann:
Für n=0:
\[1\geq1\]
Für n=1:
\[1+x+x^2+...\geq1+x^2\]
Für \(n\geq2\):
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Edit:
Moment, hab ich mich da vertan?
Gilt für n=1:
\[1+x\geq1+x^2\]?
Wenn ich das n auf 1 beschränke, komme ich ja nur bis zum zweiten Glied, oder?
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Spedex
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Diophant
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
\quoteon(2020-10-18 15:01 - Spedex in Beitrag No. 2)
Reicht der Term nicht aus?:
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
\quoteoff
hm, ich habe nochmal darüber nachgedacht. Streng genommen reicht es aus. Aber warum genau, das sagen dir eben die beiden Fälle \(n=0\) und \(n=1\). Da muss man eventuell begründen, was in diesen Fällen mit dem Term \(\frac{n(n-1)}{2}x^2\) passiert. Eigentlich kommt dieser Summand in der Binomischen Formel nämlich erst ab \(n=2\) vor. Es ist wohl Ansichtssache. In einer Prüfung würde ich die beiden Fälle getrennt nachrechnen.
Es würde mich interessieren, wie das andere MP'ler einschätzen.
\quoteon(2020-10-18 15:01 - Spedex in Beitrag No. 2)
Für n=0:
\[1\geq1\]
\quoteoff
Genau. 👍
\quoteon(2020-10-18 15:01 - Spedex in Beitrag No. 2)
Für n=1:
\[1+x+x^2+...\geq1+x^2\]
\quoteoff
Nein, das stimmt noch nicht. Wie gesagt: welchen Wert nimmt \({n \choose 2}\) für \(n=0\) und für \(n=1\) laut Definition an?
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Aber warum muss ich mich beim ersten und zweiten Glied um \(\left(\begin{matrix}n\\2\\\end{matrix}\right)\) kümmern?
Beim ersten Glied hat man doch \(\left(\begin{matrix}n\\0\\\end{matrix}\right)\) (weiter kommt man doch bei n=0 nicht) und beim zweiten Glied \(\left(\begin{matrix}n\\1\\\end{matrix}\right)\) (weiter kommt man doch bei n=1 nicht), nicht?
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Diophant
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|  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\quoteon(2020-10-18 15:27 - Spedex in Beitrag No. 5)
Aber warum muss ich mich beim ersten und zweiten Glied um \(\left(\begin{matrix}n\\2\\\end{matrix}\right)\) kümmern?
\quoteoff
Weil du \((1+x)^n\ge 1+\frac{n(n-1)}{2}x^2=1+{n \choose 2}x^2\) zeigen möchtest. 😉
Ich frage jetzt zum dritten mal: was passiert mit dem Ausdruck \({n \choose 2}x^2\), wenn n gleich 0 oder gleich 1 ist? ...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Also, zuerst zu deiner Aussage: Die Terme werden zu 0, wenn n gleich 0 oder 1 ist.
Dadurch ergibt sich glaube ich bei n=1 \(1\geq1\), genauso wie bei n=0.
Aber ich versteh schon deutlich grundlegender nicht, wieso beim Binomialkoeffizient immer unten eine 2 steht. Müsste es nicht so sein:
Für n=0 gilt:
\[\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)*x^0\]
Für n=1 gilt:
\[\left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right)*x^0+\left(\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right)*x^{^1}\]
Für n=2 gilt:
\[\left(\begin{matrix}2\\0\\\end{matrix}\right)*x^0+\left(\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right)*x^1+\left(\begin{matrix}2\\2\\\end{matrix}\right)*x^2\]
Tut mir Leid, dass ich das nicht check, ich würde es aber gern checken.
\quoteon(2020-10-18 15:32 - Diophant in Beitrag No. 6)
Weil du \((1+x)^n\ge 1+\frac{n(n-1)}{2}x^2=1+{n \choose 2}x^2\) zeigen möchtest. 😉
\quoteoff
Die Begründung verstehe ich nicht.
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-10-18 15:50 - Spedex in Beitrag No. 7)
Also, zuerst zu deiner Aussage: Die Terme werden zu 0, wenn n gleich 0 oder 1 ist.
Dadurch ergibt sich glaube ich bei n=1 \(1\geq1\), genauso wie bei n=0.
\quoteoff
Nicht ganz. Für den Fall \(n=1\) lautet die Ungleichung
\[(1+x)^1=1+x\ge 1\]
Weil nämlich \(x\ge 0\) nach Voraussetzung gilt!
\quoteon(2020-10-18 15:50 - Spedex in Beitrag No. 7)
Aber ich versteh schon deutlich grundlegender nicht, wieso beim Binomialkoeffizient immer unten eine 2 steht...
\quoteon(2020-10-18 15:32 - Diophant in Beitrag No. 6)
Weil du \((1+x)^n\ge 1+\frac{n(n-1)}{2}x^2=1+{n \choose 2}x^2\) zeigen möchtest. 😉
\quoteoff
Die Begründung verstehe ich nicht.
\quoteoff
Hm, wieso nicht? Es ist doch
\[\frac{n\cdot(n-1)}{2}={n \choose 2}\]
per Definition (des Binomialkoeffizienten)...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Kuestenkind
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-18
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Huhu,
\quoteon(2020-10-18 15:20 - Diophant in Beitrag No. 4)
Es ist wohl Ansichtssache. In einer Prüfung würde ich die beiden Fälle getrennt nachrechnen.
Es würde mich interessieren, wie das andere MP'ler einschätzen.
\quoteoff
das liegt - wie so oft - an der gelehrten Definition von \(\binom{n}{k}\). Wie sieht diese aus? Das Problem liegt ja dort:
\quoteon(2020-10-18 15:56 - Diophant in Beitrag No. 8)
\[\frac{n\cdot(n-1)}{2}={n \choose 2}\]
per Definition (des Binomialkoeffizienten)...
\quoteoff
Während man auf der linken Seite natürlich \(n=1\) einsetzen kann, sagt der normale TR zu \(\binom{1}{2}\) "mathematischer Fehler".
Naja - ich halte die Aufgabe für ziemlich bescheuert, aber wenn es eine Prüfungsaufgabe wäre, würde ich bemängeln, dass hier einfach kommentarlos abgeschätzt wird. Gerade wenn man mit \(\ldots\) in einem Beweis arbeitet (was eher vermieden werden sollte), müsste man schon noch ein Wort verlieren, was sich hinter diesen Pünktchen versteckt bzw. dass hier nur noch positive(!) Summanden weggelassen werden. Das ist natürlich "trivial" - gehört dann aber wohl zu einer "trivialen" Aufgabe dazu.
\quoteon(2020-10-18 14:49 - Diophant in Beitrag No. 1)
Daher braucht man hier eine weitere Menge \(\IN_0\), welche die Null auch enthält. Das ist sehr holprig und auch veraltet.
\quoteoff
Wirklich? Ich hätte eher gesagt das ist "neu". Ich habe zumindest noch in der Schule gelernt, dass Null eine natürliche Zahl ist (und soll es heute den Schülern anders beibringen).
Gruß,
Küstenkind
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@Kuestenkind,
schonmal dankeschön für deine Einschätzung an dieser Stelle.
\quoteon(2020-10-18 16:18 - Kuestenkind in Beitrag No. 9)
Naja - ich halte die Aufgabe für ziemlich bescheuert...
\quoteoff
Nun, da möchte ich nicht widersprechen, wollte das aber vorhin nicht so deutlich ausdrücken...
\quoteon(2020-10-18 16:18 - Kuestenkind in Beitrag No. 9)
\quoteon(2020-10-18 14:49 - Diophant in Beitrag No. 1)
Daher braucht man hier eine weitere Menge \(\IN_0\), welche die Null auch enthält. Das ist sehr holprig und auch veraltet.
\quoteoff
Wirklich? Ich hätte eher gesagt das ist "neu". Ich habe zumindest noch in der Schule gelernt, dass Null eine natürliche Zahl ist (und soll es heute den Schülern anders beibringen).
\quoteoff
Also aus meiner Schulzeit (1972-1985) kenne ich es auch so. Aber während meiner Studienzeit in den 90ern war da ein ziemliches Chaos, wobei die Befürworter der Variante ohne die Null gefühlt in der Mehrheit waren.
Dass man es in der Schule jetzt wieder anders machen muss, ist ja ein dicker Hund (einer von vielen...).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Aber gilt der Binomialkoeffizient \(\left(\begin{matrix}n\\2\\\end{matrix}\right)\) nicht nur beim dritten Glied? Per Definition des binomischen Lehrsatzes geht das Ganze ja von \(k=0\) bis \(n\), nicht?
Das heißt, es kann doch nicht immer unten bei k eine 2 stehen, sondern es alterniert. Beim ersten Glied 0, beim zweiten 1, beim dritten 2, usw.
Ich weiß, ich dreh mich im Kreis mit den Fragen, aber mir ist es nicht klar.
\quoteon(2020-10-18 15:56 - Diophant in Beitrag No. 8)
Hm, wieso nicht? Es ist doch
\[\frac{n\cdot(n-1)}{2}={n \choose 2}\]
per Definition (des Binomialkoeffizienten)...
\quoteoff
Naja, der Binomialkoeffizient schaut ja nur beim zweiten Glied zufälligerweise so aus, dachte ich.
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Diophant
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| Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-10-18 17:41 - Spedex in Beitrag No. 11)
Aber gilt der Binomialkoeffizient \(\left(\begin{matrix}n\\2\\\end{matrix}\right)\) nicht nur beim dritten Glied? Per Definition des binomischen Lehrsatzes geht das Ganze ja von \(k=0\) bis \(n\), nicht?...
\quoteoff
Schon*. Du möchtest hier ja aber nicht den Binomischen Lehrsatz, sondern die Ungleichung \((1+x)^n\ge 1+\frac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot x^2\) für \(n\in\IN\) und \(x\ge 0\) beweisen.
In dem Zusammenhang verstehe ich deine folgende Problembeschreibung:
\quoteon(2020-10-18 15:50 - Spedex in Beitrag No. 7)
...Aber ich versteh schon deutlich grundlegender nicht, wieso beim Binomialkoeffizient immer unten eine 2 steht...
\quoteoff
nicht.
* Der Binomische Lehrsatz ist aber keine Definition, sondern ein Satz, den man wie jeden Satz in der Mathematik beweisen muss. Dahingegen ist eine Definition wörtlich übersetzt (mehr oder weniger) eine Festlegung.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Ja, aber auf der linken Seite steht doch ein Term, welche sich mit dem binomischen Lehrsatz ausschreiben lässt.
Und da komm ich eben auf:
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Und wenn n=0 ist, geht es halt nur bis zum ersten Glied, wenn n=1 ist, geht es bis zum zweiten Glied (als erstes Glied + zweites Glied), usw. Beim ersten Glied steht k=0 unten beim Binomkoef, beim zweiten Glied steht k=1 unten beim Binomkoef, usw. Daher komme ich auf die Aussage, dass k=2 doch nur beim dritten Glied im Binomkoeff stehen kann. Und da man bei n=0 und n=1 dort nichtmal hinkommt, versteh ich nicht, wieso man es dann trotzdem auffindet.
Falls dir keine Erklär-Methode mehr einfällt, ist es nicht schlimm. Dan versteh ich es halt nicht, kein Weltuntergang.
LG
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Diophant
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| Beitrag No.14, eingetragen 2020-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-10-18 18:06 - Spedex in Beitrag No. 13)
Ja, aber auf der linken Seite steht doch ein Term, welche sich mit dem binomischen Lehrsatz ausschreiben lässt.
\quoteoff
Richtig. Auf der linken Seite. Du musst dir hier vielleicht nochmal in aller Deutlichkeit klarmachen, dass es hier um eine Ungleichung geht. Linke und rechte Seite sind also i.a. nicht gleich.
\quoteon(2020-10-18 18:06 - Spedex in Beitrag No. 13)
Und da komm ich eben auf:
\[\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)*x^k=1+n*x+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2+...}\geq1+\frac{n*(n-1)}{2}*x^2\]
Und wenn n=0 ist, geht es halt nur bis zum ersten Glied, wenn n=1 ist, geht es bis zum zweiten Glied (als erstes Glied + zweites Glied), usw. Beim ersten Glied steht k=0 unten beim Binomkoef, beim zweiten Glied steht k=1 unten beim Binomkoef, usw. Daher komme ich auf die Aussage, dass k=2 doch nur beim dritten Glied im Binomkoeff stehen kann. Und da man bei n=0 und n=1 dort nichtmal hinkommt, versteh ich nicht, wieso man es dann trotzdem auffindet.
\quoteoff
Also, das ist so. Je nachdem, wie der Binomialkoeffizient definiert ist, ist er dann für \(k>n\) gleich Null. Wie gesagt, das wird manchmal so definiert. Dann wäre der Term \({n \choose 2}x^2\) in den Fällen \(n=0\) und \(n=1\) kein Problem (weil er definiert wäre). Wenn der Binomialkoeffizient für diesen Fall aber gar nicht definiert ist, dann schon. Das ist dann einfach unzulässig. Das Problem entsteht also bevor du die Identität \({n \choose 2}=\frac{n(n-1)}{2}\) anwendest. Der letztere Term ist für beliebige Zahlen definiert. Aber es geht hier ja nicht um irgendeine Rechnung, sondern um einen Beweis. Da muss man auf solche formellen Dinge achten.
So, und jetzt kommt die rechte Seite der Ungleichung. Hier hast du ja abgeschätzt, indem du die meisten Summanden weggelassen hast. Beachte hier auch den Hinweis von Kuestenkind aus Beitrag #9. Wegen \(x\ge 0\) sowie \({n \choose k}>0\) für \(n\ge k\) sind hier alle Summanden positiv. Wenn man welche weglässt, wird der Wert auf der rechten Seite dabei kleiner. Du lässt also geschickt alle Summanden außer der \(1\) und \({n \choose 2}x^2\) wegfallen, denn damit verbleiben genau die Summanden, die du benötigst.
Und wie gesagt: die Frage, ob das so für \(n=0\) und \(n=1\) funktioniert, hängt einzig und allein davon ab, wie der Binomialkoeffizient definiert wurde. Im Zweifelsfall einfach getrennt nachrechnen wie besprochen.
\quoteon(2020-10-18 18:06 - Spedex in Beitrag No. 13)
Falls dir keine Erklär-Methode mehr einfällt, ist es nicht schlimm. Dan versteh ich es halt nicht, kein Weltuntergang.
\quoteoff
Nichts da. Aufgeben gilt nicht! 😉
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-18
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@Spedex: Nur ein Hinweis zum LaTeX. Binomialkoeffizienten kannst du ganz einfach so schreiben:
\binom{n}{k}
Das ist kürzer und sieht besser als die Lösung mit matrix.
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Spedex
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Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Ok, ich meine ich habe es jetzt zumindest ein wenig mehr verstanden. Kann mir nicht erklären, warum ich da so Schwierigkeiten habe. Ich mach jetzt weiter mit den Aufgaben, kehre notfalls hier nochmal zurück.
Bezüglich den natürlichen Zahlen. Habe eigentlich in der Schule (2010er Jahre) gelernt, dass man 0 nicht dazu zählt. Jetzt an der Uni wurde das auch so festgelegt. Daher bleibt mir kaum eine andere Chance, als mich an dieses System anzupassen.
Ich weiß LaTeX Tipps immer sehr zu schätzen, leider kann ich aber gar kein LaTeX. Ich nutze den MS Word Formel Editor und kopiere das dann hier rein. Ist schlecht, ich weiß.
LG
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