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  Bestimme die erzeugte Sigma-Algebra |
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Quotenbanane
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Mitteilungen: 120
 |  Themenstart: 2020-10-18
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Hallo 😃
Ich hätte noch eine Frage bezüglich einer erzeugten Sigma-Algebra.
Sei X eine beliebige Menge und folgende Menge gegeben...
$\xi=\{\{x\}: x\in X\}\subseteq \mathcal{P}(X)$
Wie sieht die von $\xi$ erzeugte Sigma-Algebra aus, d.h. $\sigma(\xi)$
Ich habe mir folgendes gedacht....
Dass die leere Menge und die Grundmenge X in der Sigma Algebra liegen müssen, sollte klar sein.
Dann muss natürlich die Menge $\xi \subseteq \sigma(\xi)$ sein.
Und zum Schluss noch die Komplemente, also $F:=\{X\setminus \{y\}: \{y\}\in \xi\}$
Dann ist $\sigma(\xi)=\{\emptyset, X\}\cup \xi \cup F $
Das müsste dann alles gewesen sein, oder? F ist bezüglich der Vereinigung in der Sigma-Algebra stabil, da $\mathcal{A}=\{A\subseteq X: A \text{ abzählbar oder } A^C \text{ abzählbar}\}$ eine Sigma-Algebra ist (hab ich bereits off-screen bewiesen).
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18
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\quoteon(2020-10-18 18:43 - Quotenbanane im Themenstart)
Dann ist $\sigma(\xi)=\{\emptyset, X\}\cup \xi \cup F $
\quoteoff
Was ist denn mit Vereinigungen wie $\{x_1\}\cup\{x_2\}$ oder $\bigcup_{i\in\mathbb N}\{x_i\}$?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-18
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Nein, das Mengensystem ist noch nicht unter abz. Vereinigungen abgeschlossen. Du hast aber interessanterweise schon hingeschrieben, welche $\sigma$-Algebra am Ende herauskommt. Du musst nur noch beweisen, dass sie es ist.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Quotenbanane
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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@zippy hab ich komplett übersehen. Dann ist ja eigentlich sowieso jede Teilmenge von P(X) in der Sigma-Algebra, oder?
@Triceratops ja, wenn meine Vermutung stimmt, dass dann doch jede Teilmenge von P(X) enthalten ist und X eine beliebige Menge, dann kann man mit $\mathcal{A}=\{A\subseteq X: A \text{ abzählbar oder } A^C \text{ abzählbar}\}$ relativ schnell folgern, dass diese Menge $\xi = \mathcal{A}$ eine Sigma-Algebra ist (weil das habe ich ja schon bewiesen).
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zippy
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-18
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\quoteon(2020-10-18 19:12 - Quotenbanane in Beitrag No. 3)
@zippy hab ich komplett übersehen. Dann ist ja eigentlich sowieso jede Teilmenge von P(X) in der Sigma-Algebra, oder?
\quoteoff
Nicht jede Teilmenge ist eine abzählbare Vereinigung oder deren Komplement.
Die richtige Lösung hat dir aber Triceratops ja schon verraten.
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Quotenbanane
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Okay, aber $\cup_{i \in \mathbb{N}} x_i$ ist ja abzählbar, weil es sich um eine Vereinigung abzählbarer Mengen handelt, die alle aus den einelementigen Teilmengen aufgebaut wurden. Damit erfüllen diese Teilmengen die Lösung. Deren Komplemente ebenso, da das Komplement vom Komplement ja eben diese abzählbaren Mengen sind.
D.h. $(\cup_{i \in \mathbb{N}} x_i \cup (\cup_{i \in \mathbb{N}} x_i)^C) \subseteq \mathcal{A}$
Leere Menge und Grundmenge sind ebenso in $\mathcal{A}$ und $\sigma(\xi)$ enthalten. Darum: $\sigma(\xi) \subseteq \mathcal{A}$
Für die Rückrichtung kann man sich überlegen, dass alle abzählbaren Teilmengen von X in $\mathcal{A}$ enthalten sind. Diese kann ich aufspalten in abzählbare (endliche) einelementige Teilmengen $x_i$. Diese sind dann natürlich in $\sigma(\xi)$ enthalten. Da dies eine Sigma-Algebra ist, kann ich wieder die ursprüngliche Menge aus $\mathcal{A}$ aufbaue (stabile Vereinigung der Sigma-Algebra)
Die Komplemente von $\sigma(\xi)$ und $\mathcal{A}$ sind dann dieselben.
Darum: $\mathcal{A}\subseteq \sigma(\xi) \Rightarrow \mathcal{A}=\sigma(\xi)$
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zippy
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-18
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\quoteon(2020-10-18 19:41 - Quotenbanane in Beitrag No. 5)
aber $\cup_{i \in \mathbb{N}} x_i$ ist ja abzählbar
\quoteoff
Du meinst $\bigcup_{i\in\mathbb N}\{x_i\}$. Wirf $x$ und $\{x\}$ nicht durcheinander.
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Quotenbanane
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
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Ja, genau. Das ganze Denken verwirrt.
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