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| Autor |
  Bestimmung aller holomorphen Funktionen |
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TreeX
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.09.2019
Mitteilungen: 66
 |  Themenstart: 2020-10-21
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Sehr geehrte Damen und Herren,
da ich mir bei meinem Lösungsweg für eine Aufgabe nicht sicher bin, würde ich um Anmerkungen oder ggf. Verbesserungen meiner Lösung bitten.
Aufgabe:
Sei M := {z \el\ \IC und es gelte abs(z) < 9 }.
Bestimme alle Holomorphen Funktionen f: M -> \IC mit folgenden Vorraussetzungen: f(0) = 9 und \forall\ z\el\ M : Real( f(z)) = 9 + (Imaginär( f(z)))^9
Lösung:
Sei f = u + iv und es ex. g \el\ C(\IR,\IR) x |-> 9 + x^9 => f = g(v) + iv
Angenommen f sei nicht konstant
M ist ein Gebiet => (Aus Gebietstreue) f ist offen und f(M) ist ein Gebiet
Aber \forall\ w \el\ f(M) \exists\ z \el\ M : w = g(v(z)) + i v(z)
=> Unter \IC ~= \IR^2 ist f(M) Teilmenge des Graphen einer Funktion.
Da Graphen keine nicht leere offene Teilmenge besitzen, ist f konstant auf M.
Also f(z) = 9 konstant auf M
=> f \el\ H(M), Real( f(z)) = 9 + (Imaginär( f(z)))^9 = 9 auf U und f(0) = 9
Über Kommentare aller Art würde ich mich sehr freuen.
Mit freundlichen Grüßen,
TreeX
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2000
|  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22
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Hey TreeX,
warum sollte denn der Graph einer nicht-konstanten Funktion keine nicht-leere, offene TM besitzen? Die Identität ist doch ein einfaches Gegenbeispiel.
Versuche es doch mal mit den Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
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TreeX
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.09.2019
Mitteilungen: 66
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22
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Hi Kampfpudel,
Wenn der Graph von g(Linie) in der komplexen Ebene liegen soll, kann man doch um keinen Punkt auf dem Graphen eine offene Umgebung in C legen, welche wieder ganz im Graphen liegen.
Das liegt daran, dass die Punkte außerhalb der Linie nicht mehr zum Graphen gehören.
=> Def von f offen kann nicht erfüllt werden
Oder liege ich da mit meiner Annahme falsch?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4424
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-22
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\quoteon(2020-10-22 23:07 - TreeX in Beitrag No. 2)
Oder liege ich da mit meiner Annahme falsch?
\quoteoff
Du liegst richtig, formulierst nur etwas unverständlich.
Vorschlag: Das Innere von $G:=\left\{u+iv:u,v\in\mathbb R, u=9+v^9\right\}$ ist leer. Also enthält $G$ keine nicht leere offene Teilmenge. Also kann $f(U)\subseteq G$ nie offen sein.
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TreeX
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.09.2019
Mitteilungen: 66
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23
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Hi Zippy,
da hast vermutlich recht und dein Vorschlag übernehme ich gerne.
Vielen Dank für eure Unterstützung :D
Mit freundlichen Grüßen
TreeX
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TreeX hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
TreeX hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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