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Funktionentheorie » Holomorphie » Bestimmung aller holomorphen Funktionen
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Universität/Hochschule J Bestimmung aller holomorphen Funktionen
TreeX
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  Themenstart: 2020-10-21

Sehr geehrte Damen und Herren, da ich mir bei meinem Lösungsweg für eine Aufgabe nicht sicher bin, würde ich um Anmerkungen oder ggf. Verbesserungen meiner Lösung bitten. Aufgabe: Sei M := {z \el\ \IC und es gelte abs(z) < 9 }. Bestimme alle Holomorphen Funktionen f: M -> \IC mit folgenden Vorraussetzungen: f(0) = 9 und \forall\ z\el\ M : Real( f(z)) = 9 + (Imaginär( f(z)))^9 Lösung: Sei f = u + iv und es ex. g \el\ C(\IR,\IR) x |-> 9 + x^9 => f = g(v) + iv Angenommen f sei nicht konstant M ist ein Gebiet => (Aus Gebietstreue) f ist offen und f(M) ist ein Gebiet Aber \forall\ w \el\ f(M) \exists\ z \el\ M : w = g(v(z)) + i v(z) => Unter \IC ~= \IR^2 ist f(M) Teilmenge des Graphen einer Funktion. Da Graphen keine nicht leere offene Teilmenge besitzen, ist f konstant auf M. Also f(z) = 9 konstant auf M => f \el\ H(M), Real( f(z)) = 9 + (Imaginär( f(z)))^9 = 9 auf U und f(0) = 9 Über Kommentare aller Art würde ich mich sehr freuen. Mit freundlichen Grüßen, TreeX


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22

Hey TreeX, warum sollte denn der Graph einer nicht-konstanten Funktion keine nicht-leere, offene TM besitzen? Die Identität ist doch ein einfaches Gegenbeispiel. Versuche es doch mal mit den Cauchy-Riemann Differentialgleichungen


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TreeX
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22

Hi Kampfpudel, Wenn der Graph von g(Linie) in der komplexen Ebene liegen soll, kann man doch um keinen Punkt auf dem Graphen eine offene Umgebung in C legen, welche wieder ganz im Graphen liegen. Das liegt daran, dass die Punkte außerhalb der Linie nicht mehr zum Graphen gehören. => Def von f offen kann nicht erfüllt werden Oder liege ich da mit meiner Annahme falsch?


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zippy
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Mitteilungen: 2683
  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-22

\quoteon(2020-10-22 23:07 - TreeX in Beitrag No. 2) Oder liege ich da mit meiner Annahme falsch? \quoteoff Du liegst richtig, formulierst nur etwas unverständlich. Vorschlag: Das Innere von $G:=\left\{u+iv:u,v\in\mathbb R, u=9+v^9\right\}$ ist leer. Also enthält $G$ keine nicht leere offene Teilmenge. Also kann $f(U)\subseteq G$ nie offen sein.


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TreeX
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23

Hi Zippy, da hast vermutlich recht und dein Vorschlag übernehme ich gerne. Vielen Dank für eure Unterstützung :D Mit freundlichen Grüßen TreeX


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TreeX hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
TreeX hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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