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Universität/Hochschule J Konvergenzinterpretation von Folge
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-24


Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Die Definition, von der hier die Rede ist:

Der Beweis der Konvergenz werden ich jetzt hier nicht anführen. Da bin ich mir zumindest so sicher, dass es stimmt, dass ich der Meinung bin, dass es dem Aufwand nicht Wert wäre.

Mir geht es vor allem um die Folge-Frage, nämlich das Bestimmen von \(N_{\left(\varepsilon\right)}\)

Hierbei wäre ich auf folgende Lösungen gekommen:
Für den Fall \(\varepsilon=1\):
\[N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<1\] \[a_n<3\]
Für den Fall \(\varepsilon=0,1\):
\[N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<0,1\] \[a_n<2,1\]
Passt das? Falls ja, ist die Frage wirklich schon recht unnötig, aber ich wollte auf Nummer sicher gehen.
Die Erfahrung hat mir nämlich gezeigt, dass es durchaus auch anders sein kann.
In der Angabe steht eh, dass kein expliziter Wert für \(N_{\left(\varepsilon\right)}\) angegeben werden muss, was vermutlich daran liegt, dass die Ungleichung \(\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}<3\) im \(\mathbb{R}\) nicht lösbar ist.

LG

Edit: Ich sehe gerade, dass in der Angabe steht \(N_{\left(\varepsilon\right)}\in\mathbb{N}\)
So sicher bin ich mir jetzt nicht mehr 🙃



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-24


Hallo,

du sollst explizit zwei natürliche Zahlen ausrechnen. Also so etwas wie $N(1)=7$ und $N(1/10)=42$ oder so... also richtig explizit.

Finde also erstmal mit deiner Abschätzung eine allgemeine Formel für $N(\varepsilon)$.



In der Angabe steht eh, dass kein expliziter Wert für \(N_{\left(\varepsilon\right)}\) angegeben werden muss, was vermutlich daran liegt, dass die Ungleichung \(\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}<3\) im \(\mathbb{R}\) nicht lösbar ist.
Sie ist aber in \(\mathbb N\) lösbar, (in \(\mathbb R\) auch).
Du musst ein $N$ finden, sodass für alle $n\geq N$ gilt
\[
1<\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}<3
\] Bringe
\[\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\] erstmal auf einen Nenner und vereinfache so weit wie möglich.




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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Hallo, vielen Dank für deine Antwort.
Vorerst, die Aussage
\[N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<\varepsilon\] ist aber schon richtig, oder?
Sprich \(a\) ist der Grenzwert?
Wie kommst du auf die Aussage:
2020-10-24 16:12 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
\[\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\]

Wenn ich das auflöse, komme ich auf:
\[\frac{n-1}{2n^2+1}\]
LG

Edit: Wie man auf den Term \(xxx-2\) kommt ist mir jetzt klar.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ja: und jetzt musst du doch nur noch nachrechnen, ab welchem \(n\)

\[\left|\frac{n-1}{n^2+1}\right|<1\]
nun gilt.

Das ist dann in dem Fall dein \(N({\varepsilon})=N(1)\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-24


2020-10-24 16:57 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie kommst du auf die Aussage:
2020-10-24 16:12 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
\[\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\]

Das ist noch keine Aussage. Wir "vermuten", dass 2 der Grenzwert ist.


Wenn ich das auflöse, komme ich auf:
\[\frac{n-1}{2n^2+1}\]
Das stimmt.
\[
\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|=\frac{n-1}{2n^2+1}<\ldots<\frac{1}{2n}
\] Warum?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Hallo,
beim Fall \(\varepsilon=1\) komme ich auf \(n>0\), beim Fall \(\varepsilon=0,1\) komme ich auf \(n\geq4\).

Wäre die Antwort auf die Frage bei der Aufgabenstellung also:

Es gilt \(N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<1\) ab \(n>0\).

Es gilt \(N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<0,1\) ab \(n\geq4\)

Irgendwie hätte ich mir das nicht als Antwort erwartet.
In der Angabe steht, es sei die Aufgabe, die Differenz zum Grenzwert geeignet abzuschätzen. Das haben wir doch nicht gemacht, oder schon?

LG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-24 17:36 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:

Es gilt \(N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<1\) ab \(n>0\).

Es gilt \(N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<0,1\) ab \(n\geq4\)

Irgendwie hätte ich mir das nicht als Antwort erwartet.
In der Angabe steht, es sei die Aufgabe, die Differenz zum Grenzwert geeignet abzuschätzen. Das haben wir doch nicht gemacht, oder schon?

Das hat ochen doch in Beitrag #4 im Prinzip schon gemacht. Das muss man noch geeignet begründen:

- ein Bruch wird größer, wenn man seinen Zähler ...
- ein Bruch wird größer, wenn man seinen Nenner ...

Die \(N=4\) sind übrigens noch nicht richtig.

Doch, \(N=4\) ist für \(\varepsilon=\frac{1}{10}\) richtig. Da hatte ich mich vertan. Sorry.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Was um alles in der Welt möchte ich mit dieser Abschätzung zeigen?
Das ergibt überhaupt keinen Sinn für mich.
Abgesehen davon habe ich auch überhaupt keine Ahnung wie ich auf eine Abschätzung kommen soll, aber vielleicht wird mir das klarer wenn ich verstehe, was man mit der Abschätzung überhaupt zeigen soll.

Edit: Ach so, wieso soll den bei \(\varepsilon=0,1\) falsch sein?
Wenn ich es mit Zahlenwerte für \(n\) ausprobiere, sehe ich, dass  ab \(n=4\) mit \(\frac{1}{11}\) der Wert kleiner ist als \(0,1\). Vergesse ich das was?
Edit vom Edit: Hat sicher wohl erledigt. 🙂



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-24 18:09 - Spedex in Beitrag No. 7 schreibt:
Was um alles in der Welt möchte ich mit dieser Abschätzung zeigen?
Das ergibt überhaupt keinen Sinn für mich.

Du siehst da immer noch viel zu sehr den konkreten Fall, also die eine Aufgabe, die du gerade bearbeitest.

Das große ganze ist hier die Definition der Folgenkonvergenz. Diese besagt (in eine sprachliche Ebene übersetzt):

Für jedes noch so kleine positive \(\varepsilon\) gibt es ein (von diesem \(\varepsilon\) abhängiges) \(N(\varepsilon)\), so dass für alle Folgenglieder, die nach dem Glied \(a_{N(\varepsilon)}\) kommen, der Betrag der Differenz aus Folgenglied und Grenzwert kleiner als \(\varepsilon\) ist.

So, das möchtest du hier anhand einer konkreten Folge samt bekanntem Grenzwert zeigen. In diesem Fall würde das auch ohne eine solche Abschätzung funktionieren. Das wäre aber

a) umständlicher und
b) in der Aufgabe wird die Abschätzung empfohlen.

Aus einem ganz einfachen Grund: weil man, wenn die Folgen dann etwas komplizierter werden, in aller Regel solche Abschätzungen braucht, und die haben es manchmal ganz schön in sich. Man soll hier also schon die komplette Vorgehensweise exemplarisch einmal durchexerzieren, auch wenn hier nicht alles unbedingt nötig ist (von einem praktischen Standpunkt aus gesehen).

2020-10-24 18:09 - Spedex in Beitrag No. 7 schreibt:
Abgesehen davon habe ich auch überhaupt keine Ahnung wie ich auf eine Abschätzung kommen soll, aber vielleicht wird mir das klarer wenn ich verstehe, was man mit der Abschätzung überhaupt zeigen soll.

Setze in Beitrag # 6 an die Stellen mit den drei Auslassungspunkten sinnvolle Begriffe ein. Damit siehst du es für diesen konkreten Fall (der Vorgehensweise wirst du aber noch sehr oft begegnen).

Abschätzungen möglichst einfach und möglichst fein (also mit einem möglichst kleinen "Fehler") hinzubekommen, das ist vielleicht die Schlüsselkompetenz schlechthin in der Analysis. Das kann man also gar nicht oft genug üben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-24


2020-10-24 17:36 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:

Es gilt \(N_{\left(\varepsilon\right)}:\left|a_n-2\right|<0,1\) ab \(n\geq4\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Das musst du ja auch erstmal zeigen... Es genügt nicht nur $n=4$ einzusetzen und zu behaupten, dass es danach nur noch kleiner wird.



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Ok, also...
bezüglich dem Lückentext:
Ein Bruch wird größer, wenn sein Zähler größer wird.
Ein Bruch wird größer, wenn sein Nenner kleiner wird.
Das ist natürlich elementar.

Aber die Frage die ich mir stelle ist, was soll die Abschätzung beinhalten. Also wie zeige ich mit einer Abschätzung nun, dass das ganze konvertiert.
Sprich mit was muss ich prinzipiell den Term \(\frac{n-1}{2n^2+1}<\varepsilon\) abschätzen um zu zeigen, dass es konvergent ist. Muss ich etwas finden, was größer als \(\frac{n-1}{2n^2+1}\) ist und trotzdem kleiner als \(\varepsilon\). Da müsste ich glaube ich zuerst verstehen.

Ich hab natürlich den Beitrag von ochen gesehen, indem er folgendes erwähnt hat:
2020-10-24 17:20 - ochen in Beitrag No. 4 schreibt:
\[
\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|=\frac{n-1}{2n^2+1}<\ldots<\frac{1}{2n}
\]
Aber ich weiß weder, was dazwischen kommen soll, noch was das aller letzte aussagen soll.

LG und schönen restlichen Samstag-Abend



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-24


2020-10-24 21:20 - Spedex in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich hab natürlich den Beitrag von ochen gesehen, indem er folgendes erwähnt hat:
2020-10-24 17:20 - ochen in Beitrag No. 4 schreibt:
\[
\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|=\frac{n-1}{2n^2+1}<\ldots<\frac{1}{2n}
\]
Aber ich weiß weder, was dazwischen kommen soll, noch was das aller letzte aussagen soll.
Die drei Punkte musst du selbst füllen, eben mit den Eigenschaften des Bruches, die du vorher beschrieben hast. Setze $N(\varepsilon)>\frac{2}{\varepsilon}$. Dann gilt für alle $n\geq N(\varepsilon)$
\[
\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|=\frac{n-1}{2n^2+1}<\ldots<\frac{1}{2n}\leq \frac{1}{2N(\varepsilon)}<\varepsilon.
\]



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Hallo,
danke nochmal für all die Antworten.

Also ich komme auf:
\[\frac{n-1}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2}<\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2\cdot N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\]
Aber ich hätte noch einige Fragen.
Zu aller erst, wieso darf ich \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\) setzen?
Ich mein, ich weiß, dass \(N\left(\varepsilon\right)<\varepsilon\) gilt. Folglich kann man sagen:
\[N\left(\varepsilon\right)>\frac{1}{\varepsilon}\] Aber anstatt \(\frac{1}{\varepsilon}\) setzen wir kleiner \(\frac{2}{\varepsilon}\).
Ist die Ungleichung immer gütig, egal welche Zahl im Zähler steht. Sprich
\[N\left(\varepsilon\right)>\frac{x}{\varepsilon},x\in\mathbb{N}\]
Zweite Frage:
Wieso gilt
\[\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\] Ich vermute mal es geht aus der Definition heraus, dass wir gesagt haben, dass das für alle \(n\geq N\left(\varepsilon\right)\) gilt.
Aber was soll das heißen? Ich meine \(n\) ist doch eine Variable in der Folge und \(N\left(\varepsilon\right)\) ist die Differenz zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert, wie steht das zueinander?

Die dritte Frage hebe ich mir vorerst auf.

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-25 10:56 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Also ich komme auf:
\[\frac{n-1}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2}<\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2\cdot N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\]

Das ist fast richtig. Der einzige Fehler ist die "<"-Relation zwischen \(\frac{n}{2n^2}\) und \(\frac{1}{2n}\). Dort gehört ein Gleichheitszeichen hin, ein "\(\le\)" wäre ebenfalls möglich (macht aber wenig Sinn).

2020-10-25 10:56 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Aber ich hätte noch einige Fragen.
Zu aller erst, wieso darf ich \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\) setzen?

Das siehst du, wenn du die letzte Ungleichung

\[\frac{1}{2N(\varepsilon)}<\varepsilon\]
nach \(N(\varepsilon)\) auflöst.

Nachtrag: du meinst hier vermutlich \(N>\frac{2}{\varepsilon}\)?

2020-10-25 10:56 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich mein, ich weiß, dass \(N\left(\varepsilon\right)<\varepsilon\) gilt.

Da weißt du mehr als wir. 😉

Das kann schon deshalb im allgemeinen nicht stimen, als man in Gedanken das Epsilon ja beliebig klein werden lässt. Und je kleiner Epsilon wird, desto größer wird naturgemäß \(N(\varepsilon)\).

2020-10-25 10:56 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Zweite Frage:
Wieso gilt
\[\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\] Ich vermute mal es geht aus der Definition heraus, dass wir gesagt haben, dass das für alle \(n\geq N\left(\varepsilon\right)\) gilt.
Aber was soll das heißen? Ich meine \(n\) ist doch eine Variable in der Folge und \(N\left(\varepsilon\right)\) ist die Differenz zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert, wie steht das zueinander?

Nein, du hast die Bedeutung von \(N(\varepsilon)\) noch nicht erfasst. Die Variable \(n\) ist der Index der Folgenglieder. Also die Hausnummern, bildlich gesprochen. Und mit der Abschätzung von ochen ist dann \(N(\varepsilon)\) die kleinste solche "Hausnummer", ab der die Ungleichung \(|a_n-a|<\varepsilon\) gilt.

Das ist leicht abweichend zu der Definition aus dem Themenstart, was aber für die eigentliche Definition unerheblich ist. Bei euch gilt streng genommen diese Ungleichung erst ab \(n=N(\varepsilon)+1\).

2020-10-25 10:56 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Die dritte Frage hebe ich mir vorerst auf.

Dann kann ich sie dir zu diesem Zeitpunkt auch noch nicht beantworten. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Aha.
Das mit \(\frac{n}{2n^2}<\frac{1}{2n}\) war natürlich dumm von mir. Habe es jetzt zu \(\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}\) ausgebessert.

Die zweite Frage ist nun für mich geklärt. Danke schonmal.

Aber bei der ersten Frage bin ich mir immer noch nicht sicher.
Ich dachte nämlich eigentlich, wir nehmen als ersten Schritt \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\) einfach an. Erst dann machen wir unsere Abschätzung und schauen, dass wir irgendwie da hin kommen.
Anscheinend ist nun dem nicht so.
Wir kommen also mit unserer Abschätzung schlussendlich auf \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\). Aber woher wissen wir nun, dass das stimmt?
Wir haben unseren Term \(\frac{n-1}{2n^2+1}\) mit größeren Termen abgeschätzt. Aber woher wissen wir nun, dass diese größeren Terme bzw. der finale Term \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\) kleiner als \(\varepsilon\) ist?

LG
Ich hoffe das war verständlich formuliert und man kann sich da jetzt sozusagen in meine unaufgeklärte Ansicht hineinversetzen.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das kann man - wenn ich es richtig verstanden habe - auf eine einzige Frage komprimieren:

2020-10-25 11:47 - Spedex in Beitrag No. 14 schreibt:
Wir haben unseren Term \(\frac{n-1}{2n^2+1}\) mit größeren Termen abgeschätzt. Aber woher wissen wir nun, dass diese größeren Terme bzw. der finale Term \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\) kleiner als \(\varepsilon\) ist?

Zum einen solltest du dir wirklich die Bedeutung dieser Definition nochmal klarmachen. Bspw. mittels der Illustration bei Wikipedia.

Zum anderen ist das schon eine wichtige Frage. \(\varepsilon\) soll in dieser Definition ja zwar positiv, aber beliebig klein angenommen werden können. Daher muss man stets so abschätzen, dass auf der "Größer"-Seite immer noch eine Nullfolge steht. Das ist hier mit \(\frac{1}{2n}\) gegeben.

Wenn du hier einfach nach oben gegen \(1\) abgeschätzt hättest, wäre die Abschätzung zwar ab einem gewissen \(N\) auch richtig gewesen, aber sinnlos (dann wäre das von dir befürchtete Problem nämlich für alle \(\varepsilon\le 1\) eingetreten). Das meinte ich weiter oben ja gerade mit "fein genug" abschätzen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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2020-10-25 11:47 - Spedex in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich dachte nämlich eigentlich, wir nehmen als ersten Schritt \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\) einfach an. Erst dann machen wir unsere Abschätzung und schauen, dass wir irgendwie da hin kommen.
Das Relationszeichen ist verkehrt herum. So könnte ich ja immer $N(\varepsilon):=1$ setzen.


Anscheinend ist nun dem nicht so.
Wir kommen also mit unserer Abschätzung schlussendlich auf \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\). Aber woher wissen wir nun, dass das stimmt?
Nachrechnen. Das musst du eben aus $N(\varepsilon)>\frac{1}{\varepsilon}$ folgern.


Wir haben unseren Term \(\frac{n-1}{2n^2+1}\) mit größeren Termen abgeschätzt. Aber woher wissen wir nun, dass diese größeren Terme bzw. der finale Term \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\) kleiner als \(\varepsilon\) ist?
Das ist doch jetzt nochmal die gleiche Frage :O

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo, danke für die Antworten.
Bezüglich der Nullfolge:
\[\frac{n-1}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\] Hätte ich das oben stehende nicht auch machen können?
Dann würde ich sagen:
\[N\left(\epsilon\right)>\frac{1}{\varepsilon}\]
Wie auch immer.
Nachdem ich eine Ungleichung für \(N\left(\varepsilon\right)\) ermittelt habe (abgeschätzt habe), nämlich \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\), muss ich in diesem konkreten Beispiel, bei welchem Zahlenwerte für \(\varepsilon\) vorgegeben sind, nun noch was ermitteln?

Ganz am Anfang habe ich ja schon ermittelt, dass \(n>0\) wenn \(\varepsilon=1\) und \(n\geq4\) wenn \(\varepsilon=0,1\). Passt das schon?

Oder sollte ich nun in die Abschätzung / ermittelte Definiton für \(\varepsilon\) nämlich \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\) die Werte 1 und 0,1 einsetzten. Da komme ich nämlich dann natürlich auf andere Werte, aber die gelten auch für \(N\left(\varepsilon\right)\) und nicht \(n\), wobei wiederum gilt, dass \(N\left(\epsilon\right)\) das kleinste zulässige \(n\) ist.

Das war übrigens die vorhin angesprochenen dritte Frage.

LG

Edit:
2020-10-25 11:16 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
Das ist leicht abweichend zu der Definition aus dem Themenstart, was aber für die eigentliche Definition unerheblich ist. Bei euch gilt streng genommen diese Ungleichung erst ab \(n=N(\varepsilon)+1\).
Ich meine das spielt eine Rolle, oder? Dann komme ich nämlich wieder auf \(n\)
\(\endgroup\)


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Hallo,

2020-10-25 13:54 - Spedex in Beitrag No. 17 schreibt:
Bezüglich der Nullfolge:
\[\frac{n-1}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2+1}<\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\] Hätte ich das oben stehende nicht auch machen können?

Schon. Wenn es nur um den Nachweis der Konvergenz ginge. Aber es ist unnötig. Überlege dir bei solchen Schritten immer auch, was du damit erreichen möchtest.

In diesem Fall ist aber der Nachweis der Konvergenz nicht alles, sondern es müssen die beiden Werte für \(N(\varepsilon)\) bestimmt werden. Das klappt mit dieser Abschätzung dann aber nicht mehr, zumindest nicht für die eigentliche Folge.

2020-10-25 13:54 - Spedex in Beitrag No. 17 schreibt:
Wie auch immer.
Nachdem ich eine Ungleichung für \(N\left(\varepsilon\right)\) ermittelt habe (abgeschätzt habe), nämlich \(\)N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}, muss ich in diesem konkreten Beispiel, bei welchem Zahlenwerte für \(\varepsilon\) vorgegeben sind, nun noch was ermitteln?

Ganz am Anfang habe ich ja schon ermittelt, dass \(n>0\) wenn \(\varepsilon=1\) und \(n\geq4\) wenn \(\varepsilon=0,1\). Passt das schon?

Hast du es nachgerechnet? Es muss ja auch für die eigentliche Folge passen, wie gesagt.

2020-10-25 13:54 - Spedex in Beitrag No. 17 schreibt:
Oder sollte ich nun in die Abschätzung / ermittelte Definiton für \(\varepsilon\) nämlich \(N\left(\varepsilon\right)<\frac{2}{\varepsilon}\) die Werte 1 und 0,1 einsetzten. Da komme ich nämlich dann natürlich auf andere Werte, aber die gelten auch für \(N\left(\varepsilon\right)\) und nicht \(n\), wobei wiederum gilt, dass \(N\left(\epsilon\right)\) das kleinste zulässige \(n\) ist.

Du bringst hier nach wie vor zwei Dinge durcheinander. Die Definition verwendet man oft, um die Konvergenz einer Folge nachzuweisen (wenn man den Grenzwert kennt bzw. vermutet). Dabei muss man den Betrag der Differenz so lange abschätzen, bis man eine Ungleichung erhält, die sich in die Form \(n>f(\varepsilon)\) bringen lässt. Das bedeutet dann nämlich, dass man zu jedem beliebigen Epsilon ein \(N(\varepsilon)\) angeben kann, so dass ab dem Folgenglied \(a_{N(\epsilon)}\) alle weiteren und damit insbesondere unendlich viele Folgenglieder innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen. Das ist also die generelle Vorgehensweise, wenn man die Konvergenz einer Folge mittels der Definition beweist.

Die andere Sache ist die Fragestellung nach den konkreten Werten für \(N(\varepsilon)\) zu vorgegebenen Werten von \(\varepsilon\). Das baut man zu Beginn gerne in solche Aufgaben ein, damit man ein Gefühl dafür bekommt, wie diese Defionition funktioniert, was sie bedeutet.

Das ist dann aber schon so gedacht, dass das berechnete \(N(\varepsilon)\) für den Betrag \(|a_n-a|\) gilt und nicht nur für die Abschätzung.

Also kannst du hier die Ungleichung \(N\ge \frac{2}{\varepsilon}\) bzw. \(N>\frac{2}{\varepsilon}\) hernehmen, damit für die beiden Werte ein solches \(N\) berechnen und dann durch Einsetzen in \(|a_n-a|\) prüfen, ob es stimmt.

(Für \(\varepsilon=\frac{1}{10}\) passt hier \(N=4\)).

Noch ein Hinweis: oben hast du bei \(N(\varepsilon)<\frac{2}{\varepsilon}\) die Ungleichheit wieder falsch herum.

2020-10-25 13:54 - Spedex in Beitrag No. 17 schreibt:
2020-10-25 11:16 - Diophant in Beitrag No. 13 schreibt:
Das ist leicht abweichend zu der Definition aus dem Themenstart, was aber für die eigentliche Definition unerheblich ist. Bei euch gilt streng genommen diese Ungleichung erst ab \(n=N(\varepsilon)+1\).
Ich meine das spielt eine Rolle, oder? Dann komme ich nämlich wieder auf \(n\)

Für den Nachweis der Folgenkonvergenz spielt es keine Rolle. In beiden Fällen werden unendlich viele Folgenglieder innerhalb der Epsilon-Umgebung um den Grenzwert liegen. Eins mehr oder weniger ist da nicht von Belang.

Nur für die konkrete Berechnung von \(N(\varepsilon)\) zu gegebenen Werten von \(\varepsilon\) spielt es u.U. eine Rolle.


Gruß, Diophant
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Hä, aber wenn der Term \(N\left(\varepsilon\right)>\frac{2}{\varepsilon}\) ist doch aus der Abschätzung entstanden, nicht?
Und zur Ermittlung soll nicht die Abschätzung verwendet werden.

Wenn ich bei \(\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|<1\) n-Werte ausprobiere komme ich auf 0 und 4 (also 0 bei \(\varepsilon=1\) und 4 bei \(\varepsilon=0,1\).
Wenn ich in die Ungleichung \(N\left(\varepsilon\right)>\frac{2}{\varepsilon}\) die \(\varepsilon\)-Werte einsetze, komme ich auf \(N\left(\varepsilon\right)>2,N\left(\varepsilon\right)>20\)

Und N ist ja der niedrigste n-Wert, ab dem die Ungleichung gilt, nicht?

Also das verstehe ich nicht ganz.

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-25 14:52 - Spedex in Beitrag No. 19 schreibt:
Hä, aber wenn der Term \(N\left(\varepsilon\right)>\frac{2}{\varepsilon}\) ist doch aus der Abschätzung entstanden, nicht?

Jein. Siehe weiter unten.

2020-10-25 14:52 - Spedex in Beitrag No. 19 schreibt:
Und zur Ermittlung soll nicht die Abschätzung verwendet werden.

Das habe ich nirgends geschrieben. Nur dass das ermittelte N nicht nur für die Abschätzung sondern auch für die eigentliche Folge gelten muss. Das ist nicht automatisch der Fall.

2020-10-25 14:52 - Spedex in Beitrag No. 19 schreibt:
Wenn ich bei \(\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|<1\) n-Werte ausprobiere komme ich auf 0 und 4 (also 0 bei \(\varepsilon=1\) und 4 bei \(\varepsilon=0,1\).
Wenn ich in die Ungleichung \(N\left(\varepsilon\right)>\frac{2}{\varepsilon}\) die \(\varepsilon\)-Werte einsetze, komme ich auf \(N\left(\varepsilon\right)>2,N\left(\varepsilon\right)>20\)

Sorry, da hatte ich vorhin etwas übersehen. Aus \(\frac{1}{2N(\varepsilon)}<\varepsilon\) folgt \(N>\frac{1}{2\varepsilon}\). Den Fehler hattest du ins Spiel gebracht und ich hatte ihn aus Versehen übernommen. Macht aber nichts: im Sinne der Aufgabe wären auch \(N(1)=2\) und \(N(1/10)=20\) richtige Antworten.
 
2020-10-25 14:52 - Spedex in Beitrag No. 19 schreibt:
Und N ist ja der niedrigste n-Wert, ab dem die Ungleichung gilt, nicht?

Im allgemeinen ja, das muss aber nicht so sein. Laut der Definition aus dem Themenstart gilt die Ungleichung für alle Folgenglieder \(a_n\) ab \(n=N(\varepsilon)+1\). In deiner Aufgabe heißt es weiter wörtlich: "Bestimmen Sie ein solches N...".

Wenn du das jetzt alles nochmal für dich verarbeitest, dann gewichte das mal folgendermaßen. Auf einer "Wichtigkeitsskala" von 1 bis 10 besitzt der Nachweis der Konvergenz die Wertigkeit 10 und das Berechnen konkreter Werte für \(N(\varepsilon)\) die Wertigkeit 1.

Ich kann den Rat nur nochmal wiederholen: mache dir die Bedeutung dieser Definition klar, und deine Fragen lösen sich in Luft auf. Das dürfte sowieso eine der wichtigsten Definitionen der gesamten Analysis sein, zumindest was den Bereich Analysis 1 angeht. Du wirst also noch oft damit arbeiten dürfen. 🙂


Gruß, Diophant
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Aha ok.

Frag mich nicht, wie ich von \(\frac{1}{2N(\varepsilon)}<\varepsilon\) auf \(N\left(\varepsilon\right)>\frac{2}{\varepsilon}\) gekommen bin.

Jetzt habe ich es ausgebessert.
Bei \(\varepsilon=1\) komme ich auf 0,5

Bei \(\varepsilon=0,1\) komme ich auf 5

Wie passt das jetzt mit den vorhin ermittelten Werten von n, nämlich 0 und 4 zusammen.

Ich weiß, du hast gesagt, dass der Zahlenwert einen untergeordnete Rolle spielt. Ich würde es aber gerne trotzdem wissen.

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-25 15:32 - Spedex in Beitrag No. 21 schreibt:
Bei \(\varepsilon=1\) komme ich auf 0,5

Achtung: N ist immer eine natürliche Zahl. Welches ist das kleinstmögliche N mit \(N>\frac{1}{2}\)?

2020-10-25 15:32 - Spedex in Beitrag No. 21 schreibt:
Bei \(\varepsilon=0,1\) komme ich auf 5

2020-10-25 15:32 - Spedex in Beitrag No. 21 schreibt:
Wie passt das jetzt mit den vorhin ermittelten Werten von n, nämlich 0 und 4 zusammen.

Das ist einfach: die 0 und die 4 hast du durch Probieren direkt mit der Ungleichung \(\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|<\varepsilon\) ermittelt. Die 1 und die 5 jedoch mit der Abschätzung. Das ist doch eigentlich naheliegend, dass es da zu Unterschieden kommen kann? Wenn man etwas nach oben abschätzt so wie hier, ersetzt man ja grundsätzlich einen Term durch einen anderen Term, der entweder größer oder bestenfalls gleichgroß ist. Die Ungleichungen vor und nach so einer Abschätzung haben also i.a. unterschiedliche Lösungsmengen.


Gruß, Diophant
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 15:42 - Diophant in Beitrag No. 22 schreibt:
Achtung: N ist immer eine natürliche Zahl.
Ah, stimmt. Dann macht es natürlich Sinn.

Danke für die Hilfe.
Werde mich zwangsweise sowieso mit diesem Thema in der nächsten Zeit beschäftigen, daher bin ich um die Hilfe sehr dankbar.

LG



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Ok, ich muss noch was hinten dran hängen.

Und zwar meinte ich ja, dass ich davon ausgehe, dass ich den ersten Teil richtig habe.
So sicher bin ich mir da aber jetzt doch wieder nicht.
Bitte einfach Beitrag Nummer 1 anschauen, da steht die Angabe.

Ich habe damals einfach folgendes gemacht:
\[a_n=\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}=\frac{n^2\cdot\left(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\cdot\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{4}{2}=2\]
Denn die Terme \(\frac{1}{n}\) und \(\frac{1}{n^2}\) konvergieren gegen 0.

Aber so wird das vermutlich nicht gemeint worden sein, nicht?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nein, so war es nicht gemeint. Du müsstest das als Grenzwert schreiben:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}=...=2\]
Und das ist eine Grenzwertberechnung, aber kein Konvergenznachweis.

Mit der Abschätzung

\[\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|<\frac{1}{2n}<\varepsilon\]
hast du diesen Nachweis jedoch erbracht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Bist du dir da sicher?
Ich meine einerseits wäre das ja schon vorweggegriffen zum zweiten Teil der  Aufgabe und andererseits gilt ja nicht:
\[\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|\]
Sondern:
\[\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|\]
Oder nicht?

Plus es wäre ja ein Konvergenzbeweis, aber kein Beweis für eine Konvergenz gegen 2, nicht?

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-25 17:55 - Spedex in Beitrag No. 26 schreibt:
Bist du dir da sicher?

Nein, das war ein Fehler von mir, sorry. Ich werde es aber noch ausbessern (damit keine Missverständnisse entstehen, wenn später hier mal jemand liest).

2020-10-25 17:55 - Spedex in Beitrag No. 26 schreibt:
Ich meine einerseits wäre das ja schon vorweggegriffen zum zweiten Teil der  Aufgabe und andererseits gilt ja nicht:
\[\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|\]
Sondern:
\[\left|\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right|=\left|\frac{n-1}{2n^2+1}\right|\]
Oder nicht?

Also die Definition der Folgenkonvergenz ist so wichtig, dass sie hier nicht einfach ein Aufgabenteil ist, den man abhakt und gut ist.

2020-10-25 17:55 - Spedex in Beitrag No. 26 schreibt:
Plus es wäre ja ein Konvergenzbeweis, aber kein Beweis für eine Konvergenz gegen 2, nicht?

Die Aufgabe ist doch unmissverständlich: es soll gezeigt werden, dass die Folge gegen 2 konvergiert. Und zwar mit der Definition.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2020-10-25


Hallo Spedex

Deine zweite version ist richtig. Damiz hast du die Konvergenz gegen 2 nachgewiesen.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Ach ja, stimmt. Da steckt der Grenzwert im Form von \(...-2\) ja bereits drin.

Danke für die Hilfe.

LG



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26


Ok, mir ist nochmal was unklar.

\[\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\] Wir wissen ja, dass \(\varepsilon\) unendlich kleine sein kann, aber größer 0.
Und wir wissen, dass \(\frac{1}{2n}\) eine Nullfolge ist und kleiner \(\varepsilon\). Aber woher wissen wir, dass auch \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\) kleiner als \(\varepsilon\) ist?

LG




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2020-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-26 20:24 - Spedex in Beitrag No. 30 schreibt:
Ok, mir ist nochmal was unklar.

\[\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\] Wir wissen ja, dass \(\varepsilon\) unendlich kleine sein kann, aber größer 0.
Und wir wissen, dass \(\frac{1}{2n}\) eine Nullfolge ist und kleiner \(\varepsilon\). Aber woher wissen wir, dass auch \(\frac{1}{2N\left(\varepsilon\right)}\) kleiner als \(\varepsilon\) ist?

Weil wir mit \(N(\varepsilon)\) im Prinzip denjenigen Index ausgezeichnet haben, ab dem die Abschätzung gilt.

Dir ist die Bedeutung dieser Definition immer noch nicht klar. Ich werde sie hier noch einmal (zum wiederholten Mal) in schriftlicher Form festhalten (und zwar genau in der Version aus dem Themenstart, wo ja die Ungleichung für alle \(n>N(\varepsilon)\) gilt):

Eine Folge \(a_n\) konvergiert genau dann gegen den Grenzwert \(a\), wenn es zu jedem beliebigen \(\varepsilon>0\) eine natürliche Zahl \(N\) gibt, so dass für alle Folgenglieder \(a_n\) mit \(n>N\) die Ungleichung \(\left|a_n-a\right|<\varepsilon\) gilt.

Wir haben hier am Ende die Abschätzung

\[\frac{1}{2n}<\varepsilon\]
erhalten. Diese formt man leicht um zu

\[n>\frac{1}{2\varepsilon}\]
Jetzt sieht man sofort: egal, wie man \(\varepsilon\)  wählt, ab einem gewissen \(n\) gilt die Ungleichung. Das musst du dir jetzt wirklich bis ins letzte Detail klarmachen, sonst wirst du an allen weiteren Aufgaben zu diesem Thema scheitern.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26


Hallo,
danke nochmal für die Erklärung.

Ich werde mir die Definition praktisch intravenös injizieren. Aber ich meine ich hatte sie auch davor schon recht verstanden.

Nur das Beherrschen der Definition hilft mir halt auch nicht wirklich weiter bei den Folgebeispielen, wie manche schon im Forum vorhanden sind.

LG



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