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Universität/Hochschule J Integrierenden Faktor zu Pfaffscher Form
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallöchen miteinander!

Aufgabe.
Bestimme einen integrierenden Faktor $h$ über $\mathbb{R}^2$ und eine zugehörige Stammfunktion $f$ für die $1$-Form
\[
    \begin{align*}
        \omega = (2x^2 + 2xy^2 + 1)y\mathrm{d}x + (3y^2 + x)\mathrm{d}y.
    \end{align*}
\] Tipp: $h(x,y) = m(x)$.


Lösungsansatz.
Ich möchte zuerst eine Stammfunktion für $\omega$ finden. Gesucht ist eine differenzierbare Abbildung $f:U\to\mathbb{R}$ mit $U \subseteq \mathbb{R}^2$ und Gradient
\[
    \begin{align*}
        \nabla f(x,y) =
        \begin{pmatrix}
            (2x^2 + 2xy^2 + 1)y \\
            3y^2 + x
        \end{pmatrix}
    \end{align*}
\] Es ist
\[
    \begin{align*}
        \int \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x
        &= \int (2x^2y + 2xy^3 + y) \mathrm{d}x
        = \frac{2}{3}x^3y + x^2y^3 + yx + C(y) \\
        \int \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y
        &= \int (3y^2+x)\mathrm{d}y
        = y^3 + xy + C(x) \\
    \end{align*}
\] und damit folgt
\[
    \begin{align*}
        f
        &= \int\mathrm{d}f \\
        &= \int \left(\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y\right) \\
        &= \int \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \int \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y \\
        &= \frac{2}{3}x^3y + x^2y^3 + yx + C(y) + y^3 + xy + C(x) \\
    \end{align*}
\]
Stimmt das bis hierhin oder bin ich auf dem Holzweg?
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-28


Huhu Phoensie,

du sollst doch erst einen integrierenden Faktor bestimmen. Dafür ist doch auch der Tipp da. Hier wird es wohl auf den Faktor \(\exp(x^2)\) hinauslaufen. Damit kannst du \(\omega\) multiplizieren und dann eine Stammfunktion angeben.

Gruß,

Küstenkind



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ergänzung zum Beitrag von Küstenkind:
da die Integrabilitätsbedingung für \( \omega\) nicht erfüllt ist, hat \( \omega\) keine Stammfunktion.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-28


Hallo Wally,

ich hatte eigentlich gehofft, dass dieses auch durch meinen Text klar geworden ist. Aber du hast Recht: Es ist tatsächlich besser, dieses nochmal so explizit hinzuschreiben. Hab Dank für deine Ergänzung!

Grüße aus dem Norden,

Küstenkind



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebes Küstenkind, lieber Wally

Ich habe -- ausgehend vom integrierenden Faktor $h(x,y)=h(x)=\exp(x^2)$ -- die Stammfunktion $f(x,y):= \mathrm{e}^{x^2} y^3 + x\mathrm{e}^{x^2}y + C$ mit einer reellen Konstante $C \in \mathbb{R}$ finden können und auch gezeigt, dass sie eine Stammfunktion von $\exp(x^2)\omega$ ist.

Jedoch verstehe ich immer noch nicht die Vorgehensweise zur Bestimmung von $h(x)=\exp(x^2)$. Ja, der Tipp sagt mir, ein solcher integrierender Faktor hange nicht von $y$ ab (daher ja auch $h(x,y)=m(x)$), aber wie man das nun explizit ausrechnet ist mir nach wie vor schleierhaft...

Könnt ihr mir das ein wenig erläutern? (Brauche nicht zwingend Rechnungen, aber die Vorgehensweise, dorthin zu gelangen -- sofern das irgendwie Sinn ergibt)🙃

Liebe Grüsse
Phoensie
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-30


Huhu Phoensie,

\(\displaystyle h(x) \omega = (2x^2 + 2xy^2 + 1)y\cdot h(x)\, \mathrm{d}x + (3y^2 + x)\cdot h(x)\,\mathrm{d}y\)

Nun benutzt du die Integrabilitätsbedingung. Bilde also:

\(\displaystyle (1): \frac{\partial}{\partial y} \left((2x^2 + 2xy^2 + 1)yh(x)\right))=h(x)(2x^2+6xy^2+1)\)

\(\displaystyle (2): \frac{\partial}{\partial x} \left((3y^2 + x)h(x) \right)=(x+3y^2)h'(x)+h(x)\)

Die Integrabilitätsbedingung führt also auf die einfache DGL \(h'(x)-2xh(x)=0\).

Nochmal üben?

\(\displaystyle \omega = (y^2 + 1) \cdot \ln (y^2 + 1) ~ \dd x + (2xy+2y) ~ \dd y \)

Bestimme einen integrierenden Faktor. Tipp: \(h(x,y)=h(y)\).

Gruß,

Küstenkind



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebes Küstenkind

Deine Rechnungen sind gut nachvollziehbar, und die Lösung der Differentialgleichung habe ich auch herleiten können. Jedoch bräuchte ich eine Erklärung, wie du von Gleichungen (1),(2) auf die Differentialgleichung kommst.

Ich habe nämlich gerechnet:
\[
\begin{align*}
        0
        &\equiv \frac{\partial }{\partial x} \left(m(x)(3y^2 + x)\right) - \frac{\partial }{\partial y} \left(m(x)(2x^2 + 2xy^2 + 1)y\right) \\
        &= m'(x)(3y^2+x) + m(x) - m(x)(2x^2 + 2xy^2 + 1) \\
        &= m'(x)(3y^2+x) + 2xm(x)(x - y^2) \\
        &= m'(x)(3y^2+x) - 2xm(x)(y^2-x) \\
    \end{align*}
\] und komme hier nicht auf weitere Vereinfachungen.

PS: Sobald ich diese Aufgabe verstanden habe, setze ich mich an deine zweite Aufgabe. Ich möchte das Thema verstehen.🤗
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Phoensie,

in der zweiten Zeile stimmt deine Ableitung nach \( y\) nicht - multiplizier das doch mal erst aus.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

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Stimmt!!!😵 Menno...

Danke dir vielmals für den Hinweis. Wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, dann gilt:
\[
\begin{align*}
        0
        &\equiv \frac{\partial }{\partial x} \left(m(x)(3y^2 + x)\right) - \frac{\partial }{\partial y} \left(m(x)(2x^2 + 2xy^2 + 1)y\right) \\
        &= \frac{\partial }{\partial x} \left(3y^2m(x) + xm(x)\right) - \frac{\partial }{\partial y} \left(2x^2ym(x) + 2xy^3m(x) + ym(x)\right) \\
        &= 3y^2m'(x) + m(x) + xm'(x) - \left(2x^2m(x) + 6xy^2m(x) + m(x)\right) \\
        &= 3y^2m'(x) + m(x) + xm'(x) - 2x^2m(x) - 6xy^2m(x) - m(x) \\
        &= 3y^2m'(x) + xm'(x) - 2x^2m(x) - 6xy^2m(x) \\
        &= m'(x)(3y^2 + x) - 2xm(x)(x + 3y^2) \\
        \stackrel{:(x+3y^2)}{\implies} 0 &= m'(x) - 2xm(x) \\
    \end{align*}
\] was sich deckt mit der von euch angegebenen Differentialgleichung.🤗
\(\endgroup\)


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