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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » normale Konvergenz einer Reihe auf einem Kompaktum
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Beruf normale Konvergenz einer Reihe auf einem Kompaktum
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-29


Hallo Zusammen,

Es geht um die Laurentreihe $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$, bzw deren Wert an $z=a+re^{it}$ also $\sum_{n=0}^\infty a_n r^n e^{int}$.

Die Frage ist nun nach der absoluten konvergenz $\sum_{n=0}^\infty |a_n|r^n$.


Nun lese ich: Die Laurentreihen sind absolut konvergent auf jedem Kompakt innerhalb der Krone $C(R_1,R_2)$

Habe ich da etwas verpasst? Ich ein solcher Satz ist mir nicht bekannt und ich habe auch in unseren Unterlagen danach gesucht und nichts gefunden.

Hintergrund ist, dass die normale konvergenz der Laurentreihe die Anwendung des Satzes von Beppo Levi $\sum \int = \int \sum $ erlaubt.

Noch eine Frage: Gibt es auf der komplexen EBene auch einen ganz einfachen "Trick" u, zu sehen ob eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ kompakt ist oder nicht? Auf $\mathbb{R}$ geht das ja ganz einfach mit "Kompakt = beschänkt und abgeschlossen".
Gibt es etwas anaolges auf $\mathbb{C}$?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29


2020-10-29 18:34 - sulky im Themenstart schreibt:
Noch eine Frage: Gibt es auf der komplexen EBene auch einen ganz einfachen "Trick" u, zu sehen ob eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ kompakt ist oder nicht? Auf $\mathbb{R}$ geht das ja ganz einfach mit "Kompakt = beschänkt und abgeschlossen".
Gibt es etwas anaolges auf $\mathbb{C}$?

Ja, hier gilt genau das Gleiche.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-29


2020-10-29 18:37 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:


Ja, hier gilt genau das Gleiche.

hmmm... dann ist $D(a,r)$ schon einmal nicht kompakt.....



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