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  Gewichte der Gauss-Tschebyschev-Quadratur |
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Phoensie
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Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Matheplanetarier
Wir betrachten folgendes Thema:
(Definition: Gauss-Tchebychew-Quadratur). Für eine Regelfunktion $f:[-1;1] \to \mathbb{R}$ ist die Gauss-Tchebychew-Quadratur die gewichtete Integralapproximation
\[
\begin{align*}
\int_{-1}^1 f(x) w(x) \mathrm{d}x
\approx
\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) w_i
\end{align*}
\]
mit Stützstellen
\[
\begin{align*}
x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)
\qquad ,i \in \{1,\ldots,n\}
\end{align*}
\]
und positiven Gewichten $w_i \geq 0$ sowie der Gewichtsfunktion
\[
\begin{align*}
w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
\end{align*}
\]
Aufgabe: Berechne die Werte der Gewichte $w_i$ und zeige, dass sie alle gleich sind.
Meine Frage an euch: Stimmt die Berechnungsformel
\[
w_i
= \int_{-1}^1 \ell_i(x)\mathrm{d}x
= \int_{-1}^1 \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}\mathrm{d}x
\]
oder muss ich einen anderen Ansatz zur Berechnung verwenden?\(\endgroup\)
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StefanVogel
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-01
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Phoensie
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
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\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Lieber Stefan
Danke für den Hinweis. Ich habe nun mal das eingesetzt, das ich gegeben habe:
\[
\begin{align*}
w_i
&= \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^{n} \frac{x-x_k}{x_i-x_k}\mathrm{d}x \\
&= \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^{n} \frac{x-\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)}{\cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)}\mathrm{d}x \\
&= \int_{-1}^1 \arcsin'(x) \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^{n} \frac{x-\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)}{\cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)}\mathrm{d}x \\
\end{align*}
\]
Hier weiss ich nicht weiter.\(\endgroup\)
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Phoensie
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
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\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
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\)
Ich habe nun einen anderen Ansatz probiert, der mich zum richtigen Resultat führt. Dazu muss ich allerdings voraussetzen, dass alle Gewichte gleich sind. Dann ist nämlich:
\[
\begin{alignat*}{5}
&& \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) &= \int_{-1}^{1} f(x)w(x)\mathrm{d}x \\
&\implies& \sum_{i=1}^n w_i &= \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x \qquad &&\color{red}{\text{, für die Abbildung }f \equiv 1.} \\
&\implies& n w_i &= \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x &&\color{red}{\text{, wenn alle Gewichte $w_i$ gleich sind.}} \\
&\implies& w_i &= \frac{1}{n}\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x &&\color{red}{\text{, mittels Division durch $n>0$.}} \\
&& &= -\frac{1}{n}\int_{-1}^{1} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x &&\color{red}{\text{, weil }(-1)^2=1.} \\
&& &= -\frac{1}{n}\int_{-1}^{1} \arccos'(x) \mathrm{d}x &&\color{red}{\text{, weil }\arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.} \\
&& &= -\frac{1}{n}\left( \arccos(1) - \arccos(-1)\right) &&\color{red}{\text{, nach dem Hauptsatz der Int'- und Diff'-Rechnung, Teil 2.}} \\
&& &= -\frac{1}{n}( 0 - \pi) \\
&& &= \frac{\pi}{n}.
\end{alignat*}
\]
Was hältst du davon?\(\endgroup\)
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StefanVogel
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-01
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Viel, weil ich auch noch ideenlos am Anfang stehe (außer den vorgegebenen Rechenmethoden in den Links). Dann reicht es zu zeigen, dass die Gewichte gleich sind und muss sie dabei nicht unbedingt bis zum tatsächlichen Wert ausrechnen. Mein bisheriger Versuch war, mit \(\arcsin'(x) \mathrm{d}x = \mathrm{d}\arcsin(x)\) weiterzurechnen und \(x=\sin(t)\) zu substituieren. Weil Sinus eine ungerade Funktion ist, würde das Integral für ungerade Potenzen von \(\sin(t)\) Null werden. Aber die geraden Potenzen da weiß ich nicht weiter.
EDIT: \(\arccos(x)\) verwenden anstelle von \(\arcsin(x)\) geht vielleicht auch, weil sich die Ableitung nur im Vorzeichen unterscheidet.
EDIT2: Oder so wie du das Integral für \(f(x)=1\) ausgerechnet hast, noch n-1 weitere Funktionen suchen, wo man das Integral ausrechnen kann, das ergibt dann ein Gleichungssystem für die Gewichte, und da braucht man ja nur die schon gefundene Lösung einsetzen, ob es stimmt.
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AlphaSigma
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-01
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2020-10-31 15:41 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Aufgabe: Berechne die Werte der Gewichte $w_i$ und zeige, dass sie alle gleich sind.
2020-11-01 13:26 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich habe nun einen anderen Ansatz probiert, der mich zum richtigen Resultat führt. Dazu muss ich allerdings voraussetzen, dass alle Gewichte gleich sind.
Hallo Phoensie,
eigentlich sollst du die Gewichte berechnen und zeigen, dass alle Gewichte gleich sind. Wenn das die Aufgabenstellung ist, darfst du die Gleichheit natürlich nicht voraussetzen.
Evtl. hilft dir der Artikel auf Wolfram weiter
Chebyshev-GaussQuadrature . Da wird die Herleitung in groben Schritten skizziert.
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Themenstart: 2020-10-31