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Lineare Algebra » Eigenwerte » Minimalpolynome von Endomorphismen
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Universität/Hochschule J Minimalpolynome von Endomorphismen
mathebauer97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-31 18:37


Hallo,

ich wiederhole in meinem LA Skript gerade das Kapitel über Charakteristische Polynome / Minimalpolynome von Endomorphismen. Dort steht folgendes Beispiel:

(Im Folgenden bezeichnen \(\chi(t)\) charakteristische Polynome und \(\mu(t)\) Minimalpolynome.)

In \( \mathbb{R}^{2 \times 1}\) gilt:

Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

ist \(\chi_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\) und \(\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)\)

Das kann ich nachvollziehen - die Nullstellen des Minimalpolynoms unterscheiden sich nicht von denen des charakteristischen Polynoms, es muss aber minimalen Grad besitzen.

Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

ist \(\chi_{f_{X}}(t)=\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\)

Das verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach müsste das Minimalpolynom doch aussehen wie beim ersten Beispiel. Warum kann ich hier den Grad nicht weiter verringern ?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31 18:55

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Hallo mathebauer97,

probier es doch einfach mal aus: Setze die Matrix in dein vorgeschlagenes Minimalpolynom ein, und du wirst sehen, dass nicht $0$ rauskommt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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mathebauer97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01 18:10


Hallo und vielen Dank für die Antwort,

habe ganz vergessen, dass ich das so machen kann. So wird es natürlich offensichtlich. 😁

Bislang hatten wir das Einsetzen eines Endomorphismus in eine Polynomfunktion nämlich so definiert:

Wenn \(\mu_{f_{X}}(t) = \sum_{i=1}^{k}t^{i}a{i}\),

dann ist \(\mu_{f_{X}}(f)(v) = \sum_{i=1}^{k}f^{i}(v)*a_{i}\)

wobei in dem oben angeführten Beispiel \(v \in \mathbb{R}^{2\times 1}\) wäre.

Kann ich daraus schließen, dass ich ganz einfach die Abbildungsmatrix \(X\) in
\(\mu_{f_{X}}\) einsetzen kann ? Ist doch eigentlich genauso als würde ich die Vektoren der Standardbasis einsetzen, oder ?

lg



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-01 19:00

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Ja, das kannst du tatsächlich machen. In diesem Fall also
\[\mu_{f_X}(X)=(X-1)^2=\matrix{0&0\\1&0}^2=\matrix{0&0\\0&0},\] während hingegen einsetzen in das Polynom $p=t-1$ einfach nur $p(X)=\matrix{0&0\\1&0}\neq0$ ergeben würde.
\(\endgroup\)


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mathebauer97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01 20:22


Ich verstehe, besten Dank :)

lg



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