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 Volumen von Quadern |
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3marco6
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 |  Themenstart: 2020-10-31
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Hallo, ich habe folgende Übungsaufgabe zu bearbeiten:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52992_Bildschirmfoto_2020-10-31_um_19.23.39.png
ich habe jetzt ganz einfach gezeigt dass die untere Funktion µ(Q) alle Bedingungen ii') iii') und iv) erfüllt und habe dies auch geschafft, jetzt frage ich mich aber was genau der Hinweis unten zu bedeuten hat? Habe ich eine falsche Richtung bewiesen? Oder was sollte ich mit dem Hinweis machen?
wenn f(x) = µ(Q) ist dann ist ja f(x) = (x-0)(1-0) = x
was bringt mir das jetzt aber?
Vielen Dank für die Hilfe!
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sonnenschein96
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31
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Hallo 3marco6,
\quoteon(2020-10-31 19:28 - 3marco6 im Themenstart)
ich habe jetzt ganz einfach gezeigt dass die untere Funktion µ(Q) alle Bedingungen ii') iii') und iv) erfüllt und habe dies auch geschafft, jetzt frage ich mich aber was genau der Hinweis unten zu bedeuten hat? Habe ich eine falsche Richtung bewiesen? Oder was sollte ich mit dem Hinweis machen?
\quoteoff
Ja Du hast genau die andere Richtung gezeigt, also dass wenn man das Volumen eines Quaders als Produkt der Seitenlängen definiert, es translationsinvariant, normiert und additiv ist.
Die Aufgabe besteht nun darin, umgekehrt zu beweisen, dass aus der Forderung dieser drei Eigenschaften folgt, dass Du gar keine andere Wahl hast, als das Volumen durch das Produkt der Seitenlängen zu definieren. Dies ist schwieriger :P
Zu dem Hinweis: Für \(x,y\geq0\) gilt
$$
\begin{align*}
f(x+y)&=\mu([0,x+y)\times[0,1]) = \mu(([0,x)\times[0,1])\cup([x,x+y)\times[0,1])) = \mu([0,x)\times[0,1])+\mu([x,x+y)\times[0,1])\\
&=\mu([0,x)\times[0,1])+\mu([0,y)\times[0,1])=f(x)+f(y).
\end{align*}
$$
Das dritte Gleichheitszeichen folgt dabei aus der Additivität, das vierte aus der Translationsinvarianz. Dies ist wohl die Funktionalgleichung, welche im Hinweis erwähnt wurde.
Der nächste Schritt besteht jetzt darin, \(f(x)=x\) für alle \(x\geq0\) aus der Funktionalgleichung zu folgern.
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3marco6
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
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Könnte ich jetzt nicht einfach sagen dass f(x) = x ist, da man quasi den Quader [0,1] x [0,x] in ⌊x⌋ normierte Quader einteilen und dann daraus folgern, dass f(x) = x sein muss? oder wie soll mir die Funktionalgleichung dort hilfreich sein?
Danke !
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sonnenschein96
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-01
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Das klingt für mich ehrlich gesagt nicht besonders sinnvoll... Insbesondere wenn \(x\) keine natürliche Zahl ist.
Du kannst aber als ersten Schritt \(f(x)=xf(1)\) für alle \(x\in\mathbb{Q}, x\geq0\) mit der Funktionalgleichung zeigen. Sei also \(x=\frac{m}{n}\) mit \(m\in\mathbb{N}_0, n\in\mathbb{N}\). Überlege Dir dazu zunächst \(f(\frac{m}{n}) = mf(\frac{1}{n})\) und dann \(f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}f(1)\). Beides folgt eigentlich fast direkt aus der Funktionalgleichung.
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3marco6
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02
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Hey ich stehe irgendwie seit Tagen auf dem Schlauch bei der Aufgabe 😖
f(m/n) = μ([0,m/n)×[0,1])=μ( m[0,1/n)×[0,1]) = m f(1/n)
beim anderen ähnlich oder?
und was bringt mir das jetzt genau um auf die eigentliche Maßfunktion zu kommen?
Vielen Dank für deine Hilfe bis jetzt!!!
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sonnenschein96
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-03
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\quoteon(2020-11-02 23:04 - 3marco6 in Beitrag No. 4)
f(m/n) = μ([0,m/n)×[0,1])=μ( m[0,1/n)×[0,1]) = m f(1/n)
\quoteoff
Naja die letzte Gleichung muss eben begründet werden. Letztendlich geht es ja gerade darum, zu beweisen, dass \(\mu([0,x)\times[0,1])=x\mu([0,1)\times[0,1])\) (also \(f(x)=xf(1)\)) für alle \(x\geq0\) ist. Dies muss rein aus den drei geforderten Eigenschaften \((ii'),(iii'),(iv)\) und der Nichtnegativität abgeleitet werden (!). Nichts anderes darf verwendet werden.
Vergiss \(\mu\) für den Moment einmal und konzentriere Dich auf die Funktionalgleichung \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) für \(x,y\geq0\), welche ich bereits hergeleitet habe. Ich mache mal den Anfang:
\[f(\frac{2}{n})=f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n})=f(\frac{1}{n})+f(\frac{1}{n})=2f(\frac{1}{n}).\]
Genauso siehst Du \(f(\frac{m}{n})=mf(\frac{1}{n})\) für alle \(m\in\mathbb{N}\). Dann überlege Dir \(f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}f(1)\) für alle \(n\in\mathbb{N}\). Beachte, dass dies äquivalent zu \(nf(\frac{1}{n})=f(1)\) ist. Kombinierst Du beides, erhältst Du wie gesagt \(f(x)=xf(1)\) für alle \(x\in\mathbb{Q},x\geq0\).
Für weitere Argumentationen fände ich es dann hilfreich, sich zu überlegen, dass \(\mu\) und damit auch \(f\) monoton sind, d.h. aus \(Q_1\subseteq Q_2\) folgt \(\mu(Q_1)\leq\mu(Q_2)\) und aus \(0\leq x\leq y\) folgt \(f(x)\leq f(y)\).
\quoteon(2020-11-02 23:04 - 3marco6 in Beitrag No. 4)
und was bringt mir das jetzt genau um auf die eigentliche Maßfunktion zu kommen?
\quoteoff
Wenn wir erstmal wissen, dass \(f(x)=x\) für alle \(x\geq0\) ist, also \(\mu([0,x)\times[0,1])=x\), können wir uns leicht überlegen, dass auch \(\mu([0,x]\times[0,1])=x\) ist. Dann können wir z.B. so weitermachen:
\[\mu([a_1,b_1]\times[0,1]) = \mu([0,b_1-a_1]\times[0,1])=b_1-a_1.\]
In der ersten Gleichung wurde die Translationsinvarianz verwendet. Aber ich würde sagen eins nach dem anderen, sonst verwirrt Dich das nur.
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3marco6
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03
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Vielen Dank!
Ich habe jetzt verstanden wohin man mit der funktionalgleichung hin will und was man dann machen will.
ich verstehe nur nicht genau wieso du genau das mit dem 2/n und dann m/n und dann 1/n machst, kann man das nicht irgendwie direkter machen?
also bei f(m/n) = f(1/n) + f(1/n) + f(1/n) + f(1/n) +.... (m-mal) = m f(1/n)
meinst du das so oder wie genau meinst du es
und wenn man ja quasi f(1/n) = 1/n f(1) raus hat, kann man doch x = 1/n setzen und wegen der Normierung auf 1 ist f(1) doch schon gleich 1, also f(x) = x
und der letzte schritt den du gezeigt hast war sehr hilfreich, jetzt verstehe ich wie man dann quasi genau auf die Maßfunktion schließen soll, Danke!!!
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sonnenschein96
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-03
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\quoteon(2020-11-03 20:21 - 3marco6 in Beitrag No. 6)
ich verstehe nur nicht genau wieso du genau das mit dem 2/n und dann m/n und dann 1/n machst, kann man das nicht irgendwie direkter machen?
\quoteoff
Du musst das nicht zuerst mit \(\frac{2}{n}\) machen, sondern kannst es direkt mit \(\frac{m}{n}\) machen. Ich wollte Dir nur die Idee verdeutlichen.
\quoteon(2020-11-03 20:21 - 3marco6 in Beitrag No. 6)
also bei f(m/n) = f(1/n) + f(1/n) + f(1/n) + f(1/n) +.... (m-mal) = m f(1/n)
meinst du das so oder wie genau meinst du es
\quoteoff
Ja im Prinzip meine ich das so. Aus der Funktionalgleichung folgt induktiv \(f(x_1+\ldots+x_m)=f(x_1)+\ldots+f(x_m)\) für \(x_1,\ldots,x_m\geq0\). Setzt Du jedes \(x_i\) auf \(\frac{1}{n}\), erhältst Du das Ergebnis, da dann \(x_1+\ldots+x_m=\frac{m}{n}\) ist.
\quoteon(2020-11-03 20:21 - 3marco6 in Beitrag No. 6)
und wenn man ja quasi f(1/n) = 1/n f(1) raus hat, kann man doch x = 1/n setzen und wegen der Normierung auf 1 ist f(1) doch schon gleich 1, also f(x) = x
\quoteoff
\(f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}f(1)\) musst Du noch begründen. Das ist aber nicht so schwierig.
\(f(1)=1\) muss ebenfalls begründet werden. Dies bedeutet \(\mu([0,1)\times[0,1])=1\). Die Normierung lautet aber \(\mu([0,1]\times[0,1])=1\). Beachte, dass dort einmal \([0,1)\) und einmal \([0,1]\) steht.
Außerdem fehlt Dir natürlich immer noch die Begründung für \(f(x)=xf(1)\) für \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, x\geq0\). Bei beidem finde ich wie gesagt die Monotonie hilfreich.
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3marco6
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03
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\quoteon
Außerdem fehlt Dir natürlich immer noch die Begründung für \(f(x)=xf(1)\) für \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, x\geq0\). Bei beidem finde ich wie gesagt die Monotonie hilfreich.
\quoteoff
Die Monotonie ist doch aber nicht eine Bedingung für das Maß die dort oben genannt wurden oder?
und sry dass ich mich so dumm anstelle aber muss ich das jetzt mit f(1/n) wie du meintest per Induktion zeigen oder irgendwie folgern wie oben mit f(1/n) = \mu ( [0, 1/n) x [0,1]) = \mu ( 1/n [0, 1) x [0,1]) = 1/n f(1)??
und kannst du mir vllt einen tipp geben wie ich argumentieren kann dass f(1) = 1 ist, also damit ich das Problem mit dem offenen Intervall da wegbekomme?
Vielen vielen dank für deine Hilfe!
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sonnenschein96
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-03
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\quoteon(2020-11-03 22:40 - 3marco6 in Beitrag No. 8)
Die Monotonie ist doch aber nicht eine Bedingung für das Maß die dort oben genannt wurden oder?
\quoteoff
Das stimmt, Du kannst die Monotonie aber aus den gegebenen Eigenschaften folgern. Nämlich aus Additivität und Nichtnegativität.
\quoteon(2020-11-03 22:40 - 3marco6 in Beitrag No. 8)
und sry dass ich mich so dumm anstelle aber muss ich das jetzt mit f(1/n) wie du meintest per Induktion zeigen oder irgendwie folgern wie oben mit f(1/n) = \mu ( [0, 1/n) x [0,1]) = \mu ( 1/n [0, 1) x [0,1]) = 1/n f(1)??
\quoteoff
Die letzte Gleichung hast Du wieder nicht begründet. Du hast eigentlich wieder nur die zu zeigende Aussage neu aufgeschrieben. Es gilt \[nf(\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})+\ldots+f(\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{n})=f(1),\]
(\(n\) Summanden) wobei in der Mitte wieder die Funktionalgleichung verwendet wurde. Jetzt musst Du nur noch durch \(n\) teilen. Ingesamt erhalten wir wie gesagt \(f(x)=xf(1)\) für \(x\in\mathbb{Q},x\geq0\). (\(f(0)=\mu(\emptyset)=0\) sieht man auch leicht.)
\quoteon(2020-11-03 22:40 - 3marco6 in Beitrag No. 8)
und kannst du mir vllt einen tipp geben wie ich argumentieren kann dass f(1) = 1 ist, also damit ich das Problem mit dem offenen Intervall da wegbekomme?
\quoteoff
Aus der Monotonie von \(\mu\) folgt direkt \(f(1)=\mu([0,1)\times[0,1])\leq\mu([0,1]\times[0,1])=1\). Andererseits gilt für alle \(x\in\mathbb{Q}\) mit \(x>1\), dass \[xf(1)=f(x)=\mu([0,x)\times[0,1])\geq\mu([0,1]\times[0,1])=1,\]
also \(f(1)\geq\frac{1}{x}\). Lässt man \(x\) gegen \(1\) gehen, folgt \(f(1)\geq1\).
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