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 holomorphe Funktion f von der Form e^g |
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mathlete
Junior 
Dabei seit: 02.11.2020
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2020-11-02
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Aufgabe:
Es sei f eine in dem Einheitskreis E holomorphe Funktion mit f(0)=1 und \( f^{'} \)(z)= \( (f(z))^{2} \) für alle z ∈ E. Zeigen Sie, dass es eine in E holomorphe Funktion g gibt mit \( e^{g} \) = f in E.
Also eigentlich dachte ich, ich hätte ich die Aufgabe gelöst, aber mir sind nochmal Zweifel gekommen, ob ich es nicht eher über den holomorphen Logarithmus von f zeigen soll, in dem ich beweise, dass f nullstellenfrei ist.
Meine erste Idee war folgende:
Es sei f wie in der Aufgabe beschrieben. Es gilt f(0)=1 und \( f^{'} \)(0)= \( (f(0))^{2} \) = 1·1=1.
Induktiv folgt: \( f^{(k)} \)(0)= \( (f(0))^{2k} \) = \( 1^{2k} \) = 1.
Betrachte nun h:= \( e^{g} \) und die Ableitungen von h:
h(0) = \( e^{g(0)} \)
\( h^{'} \)(0) = \( g^{'} \)(0) · \( e^{g(0)} \)
\( h^{''} \)(0) = \( g^{'} \)(0)^2 · \( e^{g(0)} \)
...
\( h^{(k)} \)(0) = \( g^{'} \)(0)^k · \( e^{g(0)} \)
Um das Identitätsprinzip anwenden zu können, muss also \( h^{(k)} \)(0) = 1 gelten, also \( g^{'} \)(0)^k · \( e^{g(0)} \) = 1. Dies gilt z.B. für die Funktin g(z)=z.
Also existiert ein w=0 ∈ E mit \( f^{(k)} \)(0) = \( h^{(k)} \)(0) für alle k ∈ℕ∪{0} und nach Idenditätsprinzip gilt f ≡ h.
Ist das korrekt so? Oder hab ich schon einen Fehler gemacht, als ich davon ausgegangen bin, dass man die Voraussetzung induktiv fortsetzen kann? Sollte ich lieber über die Nullstellenfreiheit gehen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar! :)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-02
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\quoteon(2020-11-02 11:11 - mathlete im Themenstart)
Induktiv folgt: \( f^{(k)} \)(0)= \( (f(0))^{2k} \) = \( 1^{2k} \) = 1.
\quoteoff
Wie bist du denn darauf gekommen?
Für $k=2$ ist doch z.B. $f''(0)=2f(0)f'(0)=2\ne1$.
--zippy
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mathlete
Junior
Dabei seit: 02.11.2020
Mitteilungen: 9
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02
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Gute Frage😐 da hab ich wohl einfach die Produktregel für Ableitungen außer Acht gelassen...
Laut der Vorlesung existiert ein holomorphe Funktion g mit f=e^g, wenn f in E nullstellenfrei und holomorph und E ⊆ ℂ einfach zusammenhängend ist.
Also muss ich zeigen, dass f nullstellenfrei ist?
Nur leider steh ich wirklich auf dem Schlauch, wie ich das anfangen soll.
Kann man vielleicht über die Potenzreihenentwicklung gehen?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-02
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\quoteon(2020-11-02 11:58 - mathlete in Beitrag No. 2)
Also muss ich zeigen, dass f nullstellenfrei ist?
\quoteoff
Ja, denn das ist die einzige Bedingung in deinem Satz, die nicht offensichtlich erfüllt ist.
Und das kannst du tun, indem du dir überlegst, dass eine Funktion mit $f'=f^2$ entweder überall auf ihrem Definitionsbereich oder nirgends verschwindet. Dazu kannst du entweder eine Potenzreihenentwicklung von $f$ um eine Nullstelle heranziehen oder die Differentialgleichung $f'=f^2$ lösen.
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mathlete
Junior
Dabei seit: 02.11.2020
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02
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Da ich DGL noch nicht hatte, fehlt mir beim Differentialgleichungen lösen der passende Ansatz. Deshalb würde ich es mal über die Potenzreihe probieren:
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n} \) · \( a_{n}·z^{n-1} \) = ( \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) \( a_{n}·z^{n} \) )^2
<=>
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)} \) · \( a_{n+1}·z^{n} \) = ( \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) \( a_{n}·z^{n} \) )^2
aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.. Ich kann ja die Koeffizienten nicht vergleichen, wegen dem rechten quadratischen Ausdruck. Was mache ich falsch?🙁
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-02
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Du kannst die Koeffizienten der Potenzreihe so bestimmen, wie du es schon im Startbeitrag versucht hast, du musst nur richtig ableiten:
Sei $\zeta$ eine Nullstelle von $f$. Dann ergibt sich nacheinander$$
\begin{align*}
f(\zeta)&=0\;,\quad\\[1.5ex]
f'(\zeta)&=f(\zeta)^2=0\;,\quad\\[1.5ex]
f''(\zeta)&=2f(\zeta)f'(\zeta)=0\\[1.5ex]
&\vdots\\[1.5ex]
f^{(k)}(\zeta)&=\sum_{j=0}^{k-1}{k-1\choose j}\,
f^{(j)}(\zeta)\,
f^{(k-j-1)}(\zeta)=0\;,
\end{align*}
$$d.h. die Potenzreihe verschwindet identisch.
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mathlete
Junior
Dabei seit: 02.11.2020
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02
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Danke auf jeden Fall schon mal für deine Hilfe!👍
Was genau meinst du mit "verschwindet identisch"? Den Begriff kenne ich leider nicht. Meinst du, dass alle Ableitungen in der Nullstelle 0 sind und f so gesehen eine Nullstelle der Ordnung "unendlich" hat?
Der von dir aufgestellte Ausdruck sieht sehr kompliziert aus. Die Aufgabe war aus einer Klausur. Ich glaube auf den Ausdruck wäre ich so nie gekommen. Gibt es nicht noch einen einfacheren ersichtlicheren Weg, wie man auf die Nullstellenfreiheit schließen kann?
Und wofür brauch ich die Voraussetzung f(0)=1?
Sorry für die ganzen Rückfragen 😖 Ich will es nur gerne verstehen..
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9721
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Für gewöhnlich benutzt man hier das Argument, dass \( f\equiv 0\) eine Lösung der Dgl. ist und dass Lösungen von AWP eindeutig sind.
Wenn du dich bei Differentialgleichungen nicht auskennst, solltest du das einfach so lassen - vielleicht hatten die Teilnehmer der Klausur andere Vorkenntnisse.
Bei dem von zippy vorgeschlagenen Weg braucht man nichts über Differentialgleichungen zu wissen, nur, dass man rekursiv an einer Nullstelle von \( f\) alle Ableitungen als Null erhält und dass \( f\) als Nullfunktion nie den Wert 1 annehmen kann.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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mathlete
Junior
Dabei seit: 02.11.2020
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02
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Danke für deine Erklärung!
Die Klausur ist aus der Funktionentheorie, die bei uns an der Uni getrennt von der DGL unterrichtet wird. Deswegen wundert es mich, dass es kein "schönes" funktionentheoretisches Argument gibt mit dem man die Aufgabe schneller bzw. einfacher lösen kann.
Aber vielen Dank für eure Hilfe! Jetzt habe ich die Idee der Aufgabe immerhin verstanden.🙂
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Naja, das Argument ist grundsätzlich schon schön funktionentheoretisch: Die Potenzreihenentwicklung in einer Nullstelle ist identisch 0 (das heißt sie ist identisch zur Nullfunktion). Mit dem Identitätssatz würde daraus schon folgen, dass die Funktion auf der ganzen Einheitskreisscheibe identisch 0 ist, was ja laut Voraussetzung falsch ist ($f(0)=1\neq0$). Daher kann die Funktion keine Nullstelle besitzen.
Sowohl die Existenz einer Potenzreihenentwicklung, als auch der Identitätssatz sind funktionentheoretische Aussagen.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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