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 Maß von vereinigten Mengen |
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ILoveMath3
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 |  Themenstart: 2020-11-07
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Hallo,
Ich habe u.a. gezeigt, dass folgendes für das Maß von 2 bzw. 3 vereinigten Mengen gilt:
2 Mengen: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B)
3 Mengen: µ(A ∪ B ∪ C) = µ(A) + µ(B) + µ(C) − µ(A ∩ B) − µ(A ∩ C) − µ(B ∩ C) + µ(A ∩ B ∩ C)
\
Nun soll ich für A_1, ... A_n, n \in N, die endlichen Maß haben, verallgeminert zeigen:
\mu(union((A_i),i=0,n)) = sum( (-1)^(|I|-1) \mu(cut((A_i),i \in I)), I \subsetequal menge(1,...,n)\\\0)
|I| ist die Kardinalität von I. Wir sind natürlich in einem Maßraum.
Meine Idee: Beweis per Induktion. Den Induktionsanfang mit n=1 (und um die Formel zu testen auch für n=2) war schnell getan. Allerdings hänge ich klassischerweise beim Induktionsschritt (n->n+1). Könnte mir da wer helfen?
Schöne Grüße
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-07
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Das nennt man übrigens das Prinzip von Inklusion und Exklusion. Die Menge $I$ in der Summierung muss nicht-leer sein. Der Induktionsanfang kann übrigens bei $n=0$ folgen (vgl. hier).
Im Induktionsschritt schreibt man
$\displaystyle \mu\left(\bigcup_{i=0}^{n+1} A_i\right) = \mu\left(\bigl(\bigcup_{i=0}^n A_i\bigr) \cup A_{n+1}\right) = \mu\left(\bigcup_{i=0}^{n} A_i\right) + \mu(A_{n+1}) - \mu\left(\bigl(\bigcup_{i=0}^n A_i\bigr) \cap A_{n+1}\right)\\ \displaystyle = \mu\left(\bigcup_{i=0}^{n} A_i\right) + \mu(A_{n+1}) - \mu\left(\bigcup_{i=0}^n (A_i \cap A_{n+1})\right)$
Jetzt benutze die Induktionsannahme.
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ILoveMath3
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-07
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Hab die Gleichung korrigiert :)
Also, zur Induktionsannahme kam ich schon, sodass dann folgendes gilt:
\
\mu(union((A_i),i=0,n+1)) = (sum( (-1)^(|I|-1) \mu(cut((A_i),i \in I)), I \subsetequal menge(1,...,n)\\\0) )+ \mu(A_(n+1)) - \mu(union( (A_i \cap A_(n+1)), i=0, n)
Allerdings liegt hier genau meine Baustelle; wie kann ich zeigen, dass die letzten beiden Ausdrücke durchs Summieren über {1, ... , n+1} wegfallen?
Schöne Grüße
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-07
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Du musst natürlich auch auf den letzten Summanden die Induktionsannahme anwenden.
Mache anschließend eine Fallunterscheidung, was die nicht-leeren Teilmengen von $\{0,\dotsc,n+1\}$ angeht.
Eigentlich sieht man es dann schon, wenn man sich das hinschreibt, was am Ende herauskommen soll.
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Triceratops
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-07
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$I \subseteq \{0,\dotsc,n\} \setminus \emptyset$ musst du ersetzen durch $\emptyset \neq I \subseteq \{0,\dotsc,n\}$ oder durch $I \in P(\{0,\dotsc,n\}) \setminus \{\emptyset\}$.
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ILoveMath3
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-07
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\mu(union((A_i),i=0,n+1)) = (sum( (-1)^(|I|-1) \mu(cut((A_i),i \in I)), I \in P(menge(1,...,n))\\\0) )+ \mu(A_(n+1)) - \mu(union( (A_i \cap A_(n+1)), i=0, n))
= (sum( (-1)^(|I|-1) \mu(cut((A_i),i \in I)), I \in P(menge(1,...,n))\\\0) )+ \mu(A_(n+1)) - (sum( (-1)^(|I|-1) \mu(cut((A_i \cap A_(n+1) ),i \in I)), I \in P(menge(1,...,n))\\\0) )
Am Ende wollen wir: \mu(union((A_i),i=0,n+1)) = (sum( (-1)^(|I|-1) \mu(cut((A_i),i \in I)), I \in P(menge(1,...,n+1))\\\0)
Okay, was für Fälle sollte ich unterscheiden? Weiß ehrlich gesagt nicht, warum hier überhaupt Fälle untersucht werden müssen, damit ich auf die letzte Gleichung komme.
Schöne Grüße
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Triceratops
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-08
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Kann es sein, dass du eigentlich im Startpost $\bigcup_{i=1}^{n} A_i$ gemeint hast? Weil die Indizes passen sonst auf der anderen Seite nicht. Jedenfalls muss man es konsistent machen. Und zur falschen Notation $\setminus \emptyset$ siehe mein voriger Beitrag.
Ich gehe jetzt einmal davon aus, dass $\bigcup_{i=1}^{n} A_i$ und entsprechend die nicht-leeren Teilmengen $I \subseteq \{1,\dotsc,n\}$ gemeint waren.
Zu deiner Frage: die nicht-leeren Teilmengen von $\{1,\dotsc,n+1\}$ sind
- die nicht-leeren Teilmengen von $\{1,\dotsc,n\}$
- $\{n+1\}$
- $J \cup \{n+1\}$ für eine nicht-leere Teilmenge $I \subseteq \{1,\dotsc,n\}$
Den Rest solltest du jetzt alleine versuchen.
Noch ein genereller Tipp: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
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