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 Zeigen Sie: f ist genau dann komplex differenzierbar, wenn... |
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lolabecker78
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2020-11-08
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Hallo, ich komme hier irgendwie nicht weiter, weiß jemand, wie diese Aufgabe zu lösen ist?
Sei \( \Omega \subset \mathbb{C} \) ein Bereich (nichtleere offene Teilmenge), \( f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}, z_{0} \in \mathbb{C} \)
(a) Zeigen Sie: \( f \) ist genau dann komplex differenzierbar in \( z_{0} \), wenn
\(
f(z)=f\left(z_{0}\right)+a\left(z-z_{0}\right)+\left|z-z_{0}\right| h(z)
\)
für eine Funktion \( h: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( \lim \limits_{z \rightarrow z_{0}} h(z)=0 . \) (In dem Fall ist dann \( a=f^{\prime}\left(z_{0}\right) \).)
(b) Beweisen Sie die Kettenregel: Für Bereiche \( \Omega, \Omega^{\prime} \subset \mathbb{C}, f: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime}, g: \Omega^{\prime} \rightarrow \mathrm{C} \) und
\( f \) differenzierbar in \( z_{0}, g \) differenzierbar in \( f\left(z_{0}\right), \) dann ist \( g \circ f \) in \( z_{0} \) differenzierbar und
\(
(g \circ f)^{\prime}\left(z_{0}\right)=g^{\prime}\left(f\left(z_{0}\right)\right) f^{\prime}\left(z_{0}\right)
\)
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 Profil
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo lolabecker,
zu a), wenn $f$ die gegebene Gleichung erfüllt, dann lässt sich der Differenzenquotient leicht aufstellen, und sein Grenzwert bestimmen. Du wirst sehen, dass der Grenzwert $a$ ist. Umgekehrt, wenn $f$ differenzierbar in $z_0$ ist, dann kann man $a=f'(z_0)$ wählen und $h$ durch den Differenzenquotienten ausdrücken.
Zu b) Du hast dann die beiden Darstellungen
\[f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\vert z-z_0\vert h_f(z),\\
g(z)=g(f(z_0))+g'(f(z_0))(z-f(z_0))+\vert z-f(z_0)\vert h_g(f(z)).\]
Setze nun in der zweiten Gleichung $f(z)$ für $z$ ein, und forme um.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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johndoe56
Junior
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-08
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| lolabecker78 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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