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 Dreiecksberechnung mit 3 Seiten-Mitte-Senkrechten |
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ebikerni
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 |  Themenstart: 2020-11-08
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Hallo,
in einem mathematischen Dreieck sind die 3 Seiten-Mitte-Senkrechten
msa=7 msb=-2 msc=5 gegeben und es müssen 19 Elemente des Dreiecks berechnet werden.
Wie lauten das/die erste/n Ergebnis/se (v. Seite, Winkel, Radius o.),
um die Bestimmung mit der Programmierung in Python 3.6 mit 15 Stellen
nach dem Komma weiter zu programmieren .
Gruß ebikerni
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-08
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Hallo
Ich würde ein Gleichungssystem erstellen. Für jede Mittelsenkrechte eine Gleichung, außerdem den Innenwinkelsatz und zweimal den Sinussatz.
Gruß Caban
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-08
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Wie ist denn die Länge der Mittelsenkrechten definiert?
Ich kenne diese nur als Geraden.
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Caban
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-08
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Hallo
Ich glaube, ganz so einfach wird es doch nicht. Weil diverse Fallunterscheidungennötig sind.
@einfältige:
Ich denke, es ist der Teil gemeint, der vom Dreieck herausgeschnitten wird.
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 10:55 - ebikerni im Themenstart)
a) in einem mathematischen Dreieck sind die 3 Seiten-Mitte-Senkrechten
msa=7 msb=-2 msc=5 gegeben und es müssen 19 Elemente des Dreiecks berechnet werden.
b) Wie lauten das/die erste/n Ergebnis/se (v. Seite, Winkel, Radius o.),
c) um die Bestimmung mit der Programmierung in Python 3.6 mit 15 Stellen
nach dem Komma weiter zu programmieren .
\quoteoff
a) Ich finde, Du verwendest recht umständliche Bezeichungen. Sag einfach Mittelsenkrechte; das weiß man dann schon, was gemeint ist.
Und schreibe einfach $m_a, m_b, m_c$; (statt $m_{s_a}$ usw.); die Verwechslungsgefahr mit anderen Größen ist gering.
b) Warum gleich "19 Sachen" hier? Normalerweise brauchst Du die 3 Seitenlängen und die Innenwinkel, den Rest kannst Du dann in einer Formelsammlung nachschlagen.
c) Sinnvoller wäre es überhaupt erstmal die Konstruktion bzw. die Berechnung (Seitenlängen und die Innenwinkel) zu klären. Die Umsetzung in Python (plus "Detailwünsche") hat damit eigentlich nichts zu tun - ganz anderes Feld.
Zudem: Woher kommt die Aufgabe, was hat es damit auf sich? Der Bereich ist Schulmathe?
Ansonsten glaube ich fast nicht, dass das -ohne weitere Angabe- geht bzw. eindeutig geht.
Du hast für die Mittelsenkrechten folgenden Formelkomplex:
$
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\c}{7}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{44}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{60}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta}
\pgfmathsetmacro{\a}{\c*sin(\Alpha)/sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a*\a +\c*\c -2*\a*\c*cos(\Beta))} %
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\McU}{\R*abs(cos(\Gamma))} %
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
% Umkreis
\draw[red] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=-90:$M_c$] (Mc) -- +(90:\McU) coordinate[label=110:$U$](U) node[midway, right] {$|M_cU|=:m_c$};
\draw[densely dashed, red] (U) -- (A) node[midway, above] {$R$};;
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =U--Mc--A};
% Annotationen - Dreieck
\draw[thick] (A) -- (B) node[pos=0.25, below]{$c/2$} node[pos=0.75, below]{$c/2$};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\alpha$", thick
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$", thick
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$", thick
] {angle =A--C--B};
\draw[-latex] (U) -- +(44:\R) node[very near end, below]{$R$};
\node[anchor=north west, yshift=-10mm, inner sep=0pt, draw=none,
fill=black!1
] at (dreieck.south west){
$\begin{array}{l l}
\multicolumn{2}{l}{ \textbf{Hinweis: }
\dfrac{a}{\sin(\alpha)}
=\dfrac{b}{\sin(\beta)}
=\dfrac{c}{\sin(\gamma)} =2R ~~\text{(Sinussatz)} } \\[1em]
|M_cU|^2 =m_c^2\hspace{-3mm}& =R^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 \\[0.75em]
&= R^2 - \bigl( R \sin (\gamma)\bigr)^2 = R^2 \bigl(1-\sin^2(\gamma) \bigr) =R^2\cos^2(\gamma) \\[1em]
&= \left(\dfrac{c}{2\sin(\gamma)}\right)^2\cos^2(\gamma)
= \left(\dfrac{c}{2\tan(\gamma)}\right)^2 \\[1.5em]
\multicolumn{2}{l}{ \Rightarrow \boxed{|M_cU| = m_c
= \sqrt{R^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2 }
= R|\cos(\gamma)| = \dfrac{c}{2|\tan(\gamma)|}} } \\[2em]
\end{array}$
};
%% Punkte
\foreach \P in {U, Mc}
\draw[fill=black!1, draw=red] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-08
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Hallo wario
Mit Kosinussatz komme ich auf eine vierte Gleichung.
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 16:26 - Caban in Beitrag No. 5)
Mit Kosinussatz komme ich auf eine vierte Gleichung.
\quoteoff
Vielleicht geht es einfacher, da man mit $
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ immer eine weitere Gleichung hat.
Dann hat man (nach Beitrag 4) folgendes Gleichungssystem zu lösen
$(1)~~ m_a=R|\cos(\alpha)|$
$(2)~~ m_b=R|\cos(\beta)|$
$(3)~~ m_c=R|\cos(\gamma)|$
$(4)~~ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
Hier sind zwei Fälle möglich:
· Im spitzwinkligen oder rechtwinkligen Dreieck kann der Betrag entfallen.
· Im stumpfwinkligen Dreieck braucht man den Betrag genau einmal, wobei man hier z.B. $|\cos(\gamma)|=-\cos(\gamma)$ setzen kann, sofern $\gamma$ der stumpfe Winkel ist.
Die Lösung dürfte dennoch nicht ganz leicht sein und wahrscheinlich numerisch gesucht werden müssen.
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ebikerni
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08
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Hallo,
Ich möchte in Python 3.6 wieder ein Programm für die Berechnung aller
restlichen 19 Dreieckselemente schreiben. 3 Elemente eines Dreiecks müssen
immer gegeben sein. In dem jetzigen Beispiel ma, mb, mc. Wenn mb=-2,
dann wird Beta > 90 °. Der Schnittpunkt von ma, mb u. mc ist der
Mittelpunkt des R (Umkreisradius ). Zu den 19 Kreiselementen zählt auch
die Dreiecksfläche und der Radius des Feuerbachkreises.
Ich habe schon mehrere Programme geschrieben. Mein letztes Programm
(gegeb. ha, hb u. hc ) konnte ich auch mit Eurer Hilfe die 19 Dreieckswerte in 17 sec erstellen.
Ich hoffe mit Euren Hinweisen auch mein jetziges Programm mit den
gegebenen Werten ma=7, mb=-2 u. mc=5 zu erstellen.
Gruß ebikerni
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Wario
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 18:21 - ebikerni in Beitrag No. 7)
Ich möchte in Python 3.6 wieder ein Programm ...
\quoteoff
Das kannst Du machen, die Frage ist nur inwieweit das für die hier vorliegende Aufgabe, Rechnung bzw. Konstruktion relevant ist.
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werner
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-08
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mit dem Kosinussatz kommt man auf
4s_a^2=-a^2+2b^2+c^2
a^2=2b^2+2c^2-4s_a^2
und analog für die 2 anderen Seiten
das ist ein lineares GLS in den Quadraten der 3 Seiten
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Caban
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-08
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Ich glaube, dass dein Beispiel nicht lösbar ist. Ich kam auf keine Lösung.
Mein Ansatz:
a ist die längste Seite
b ist die mittlerste Seite
c ist die kürzeste Seite
m_a=a/2*tan(\gamma)
m_b=b/2*tan(\gamma)
m_c=c/2*tan(\beta)=c/2*sin(\beta)/cos(\gamma)=c/2*sin(\beta)/sqrt(1-sin^2(\beta))=c/2*(b*sin(\gamma)/c)/sqrt(1-b^2*sin^2(\gamma)/c^2)=
1/2*c*b*sin(\gamma)/sqrt(c^2-b^2*sin^2(\gamma))
c^2=(4*m_c^2*b^2*sin^2(\gamma))/(4*m_c^2-b^2*sin^2(\gamma))
cos(\gamma)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)=
((2*m_a/tan(\gamma))^2+(2*m_b/tan(\gamma))^2-(4*m_c^2*b^2*sin^2(\gamma))/(4*m_c^2-b^2*sin^2(\gamma)))/(2*(2*m_a/tan(\gamma))*(2*m_b/tan(\gamma))
Mit allen möglichen Fällen konnte ich keine Lösung finden für deine Wertevorgabe.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Wario
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 21:18 - werner in Beitrag No. 9)
mit dem Kosinussatz kommt man auf
4s_a^2=-a^2+2b^2+c^2
a^2=2b^2+2c^2-4s_a^2
und analog für die 2 anderen Seiten
das ist ein lineares GLS in den Quadraten der 3 Seiten
\quoteoff
Diese Formeln gelten für die Seitenhalbierenden $s_a, s_b, s_c$. Laut Beitrag 0 sind die Mittelsenkrechten $m_a, m_b, m_c$ gegeben:
\quoteon(2020-11-08 10:55 - ebikerni im Themenstart)
in einem mathematischen Dreieck sind die 3 Seiten-Mitte-Senkrechten
msa=7 msb=-2 msc=5 gegeben ....
\quoteoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-08
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Hallo werner
Es geht um die Mittelsenkrechten und nicht die Seitenhalbierenden.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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Wario
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 21:34 - Caban in Beitrag No. 10)
Ich glaube, dass dein Beispiel nicht lösbar ist. Ich kam auf
Mein Ansatz:
...
m_a=a/2*tan(\gamma)
m_b=b/2*tan(\gamma)
\quoteoff
Wo kommen Die Formeln her? Was sind das für Formeln?
Bsp.:
$a=3,~ \alpha=45°,~ \gamma=60°$
$m_a =\dfrac{a}{2|\tan(\alpha)|} = \dfrac{3}{2 \tan(45°)} = 1.5$ (vgl. Beitrag 4)
Laut Beitrag 10:
$m_a = \dfrac{a}{2} \tan(\gamma) = \dfrac{3}{2} \tan(60°) \approx 2.98
$
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Caban
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| Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-08
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Hallo
Mein a ist stets die längste Seite, also in meiner Formel ist c=3 cm. Gamma ist 45° und beta 60°. Außerdem scheinen wir sehr unterschiedliche Auffasungen zu haben, was mit der Mittelsenkrechten gemeint ist. Ich meine den Teil der Mittelsenkrechten, der im Dreieck liegt.
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 23:33 - Caban in Beitrag No. 14)
Mein a ist stets die längste Seite, also in meiner Formel ist c=3 cm. Gamma ist 45° und beta 60°.
a) Außerdem scheinen wir sehr unterschiedliche Auffasungen zu haben, was mit der Mittelsenkrechten gemeint ist.
b) Ich meine den Teil der Mittelsenkrechten, der im Dreieck liegt.
\quoteoff
a) Das kann sein (aber sollte eigentlich nicht so sein), aber:
b) Das verstehe ich nicht.
"Meine" Mittelsenkrechte ist in Beitrag 4 (rot) eingezeichnet. Es ist derjenige Strecken-Teil der gleichnamigen Geraden (mit ähnlicher Bezeichnungssitte wie bei Winkelhalbierender, Seitenhalbierender,... - was für eine Gerade, aber auch für diejenige Strecke zwischen den beiden Punkten, durch welche die Gerade festlegt wird, stehen kann).
Wenn Du irgendwas anderes verwendest, solltest Du eine Skizze angeben. Das ist eigentlich auch üblich.
PS:
Ach so, ich glaube ich verstehe doch. Du würdest also z.B. den hier rot markierten Teil als Mittelsenkrechte (Strecke) verstehen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_2_5555555555555.png
Das macht doch gar keinen Sinn das so zu definieren, bzw. dazu Formeln aufzustellen (die vermutlich gar nicht allgemeim gelten; das zieht dieses "längste, kürzeste, mittlere Seite" nach sich) diese Strecke bildet im allgemeinen gar kein Dreieck.
PPS: An sich wäre es ohnehin die Aufgabe des Themenstarters durch ein Bild klarzustellen, was er überhaupt meint oder will. Aber dadurch, dass er unübliche Bezeichnungen und Formelzeichen verwendet und ansonsten von Python erzählt, habe ich gewisse Zweifel, dass ihm das überhaupt selbst klar ist.
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Caban
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| Beitrag No.16, eingetragen 2020-11-09
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Hallo
ich denke der Themenstarter sollte sich äußern, was er genau unter Mittelsenkrechte versteht.
Ja, den rot markierten Teil in deiner letzten Skizze meine ich.
Gruß Caban
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Caban
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| Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-09
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Hallo wario
Ich denke jetzt, dass der Themenstarter deine Interpretation meint. Denn sonst würde b=-2 cm keinen Sinn machen.
Gruß Caban
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ebikerni
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09
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@ Wario,
dein Beitrag 4 --> mc rot --> i.O.
@ Wario,
dein Beitrag 15 --> mc rot --> nicht i.O.
Schnittpunkt von ma, mb u. mc --> M -->Mittelpunkt des Dreieckunkreises
ma mb mc --> Entfern. v. den Dreieckseiten (Winkel 90°) z. Schnittpkt. M
Gruß ebikerni
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werner
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| Beitrag No.19, eingetragen 2020-11-09
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\quoteon(2020-11-08 21:35 - Caban in Beitrag No. 12)
Hallo werner
Es geht um die Mittelsenkrechten und nicht die Seitenhalbierenden.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\quoteoff
ja, mein Versehen.
der Rest zum Thema "Mittelsenkrechte = Strecke" steht eh schon da
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Wario
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| Beitrag No.20, eingetragen 2020-11-09
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\quoteon(2020-11-09 10:28 - ebikerni in Beitrag No. 18)
@ Wario,
dein Beitrag 4 --> mc rot --> i.O.
\quoteoff
Dann wäre das geklärt.
· Poste in Zukunft ein Bild, aus dem alle Bezeichnungen hervorgehen!
Sonst fangen Leute an eigentümliche Auffassungen zu entwickeln, posten auch kein Bild und dann wird das ein reiner Schwobel-Thread.
· Und lass den Quatsch mit diesen Abkürzungen die ganze Zeit!
· Und dass es hier einen Formeleditor gibt, dürftest Du auch schon mitbekommen haben! Es wird Dir wohl möglich sein, normal zu schreiben.
Dann ist das das Gleichungssystem, was für diese Aufgabe zu lösen ist:
\quoteon(2020-11-08 17:55 - Wario in Beitrag No. 6)
Dann hat man (nach Beitrag 4) folgendes Gleichungssystem zu lösen
$(1)~~ m_a=R|\cos(\alpha)|$
$(2)~~ m_b=R|\cos(\beta)|$
$(3)~~ m_c=R|\cos(\gamma)|$
$(4)~~ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
Hier sind zwei Fälle möglich:
· Im spitzwinkligen oder rechtwinkligen Dreieck kann der Betrag entfallen.
· Im stumpfwinkligen Dreieck braucht man den Betrag genau einmal, wobei man hier z.B. $|\cos(\gamma)|=-\cos(\gamma)$ setzen kann, sofern $\gamma$ der stumpfe Winkel ist.
\quoteoff
\showon Geht wohl einfacher, siehe nächster Beitrag.
Wenn ich nichts falsch gemacht habe überführe ich den 1. Fall in
$
z\cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{y}{2}\right) - z\cdot \cos(x) = p$
mit $x=\alpha+\beta,~
y=\alpha-\beta,~
z = R,~
p=m_a+m_b+m_c$.
Ja, viel Spaß. Sieht für mich nach sowas wie mehrdimensionalen Newtonverfahren aus.
Theoretisch dürfte sich auch eine kubische Gleichung zu dem Ganzen angeben lassen, was es nicht viel einfacher machen dürfte.
Vielleicht kann es ja jemand simpler lösen.
\showoff
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gonz
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Wohnort: Harz
 | Beitrag No.21, eingetragen 2020-11-09
|
nachdem man die Vorzeichenfrage geklärt hat, kommt man dann doch auf so etwas:
\
arccos(m_a/R) + arccos (m_b/R) + arccos(m_c/R) = \pi
Das heißt man kann R mittels Newton bestimmen und daraus dann die Winkel.
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.22, eingetragen 2020-11-09
|
Hallo
Ich habe eine Lösung
\alpha=25,3°, \beta=105°, \gamma=49,8° und b=15,0 cm.
Zur Herleitung:
Aus der Skizze in Beitrag 4 geht hervor, dass m_c/cos(\gamma)=R, da R konstant ist muss gelten:
m_c/cos(\gamma)=m_b/cos(\beta)=m_a/cos(\alpha)
Wählt man \beta als gesuchte Variable, so kann man schreiben:
180°=\alpha+\beta+\gamma=arcos(m_a/m_b*cos(\beta))+\beta+arcos(m_c/m_b*cos(\beta))
@wario Deine Herleitung für c/(2*tan(\gamma)) erscheint mir etwas zu kompliziert. Die Formel kann man mithilfe des Zetriwinkelsatzes direkt einsehen.
GrußCaban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
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Wario
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| Beitrag No.23, eingetragen 2020-11-09
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\quoteon(2020-11-09 12:57 - gonz in Beitrag No. 21)
a) nachdem man die Vorzeichenfrage geklärt hat, kommt man dann doch auf so etwas:
b)
\
arccos(m_a/R) + arccos (m_b/R) + arccos(m_c/R) = \pi
Das heißt man kann R mittels Newton bestimmen und daraus dann die Winkel.
\quoteoff
b) Das gefällt mir spontan besser. Ich habe dafür eine Vorlage rumfahren. Vielleicht kann ich die verwenden.
Da ergibt sich wieder die Frage nach diesem geeigneten Startwert.
b) Letzlich wird man für ein Program, dass von beliebigen $m_a, m_b, m_c$ ausgehet alle Fälle prüfen müssen.
Damit hat man vier Fälle, einmal den bei b) gennanten und dann noch je einen Fall, in dem ein Minus vor einem Arkuskosinus steht.
__________________
\quoteon(2020-11-09 12:59 - Caban in Beitrag No. 22)
@wario Deine Herleitung für c/(2*tan(\gamma)) erscheint mir etwas zu kompliziert. Die Formel kann man mithilfe des Zetriwinkelsatzes direkt einsehen.
\quoteoff
In Beitrag 4, oder was? Das mag sein, aber das tut doch hier gar nichts zur Sache.
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Caban
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| Beitrag No.24, eingetragen 2020-11-09
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Hallo
Bei meiner Version in Beitrag 22 muss man keine Fälle mehr beachten, denke ich. Ungleiche Vorzeichen kürzen sich einfach raus. Einiziger Fall, der beachtet werden muss ist, wenn für eine der Mittelsenkrechten 0 rauskommt.
Dann ist das Dreieck aber rechtwinklig.
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.25, eingetragen 2020-11-09
|
Meine Vorlage will das Newtonverfahren nicht für den Radius machen (zu umständlich jetzt rauszutüfteln), aber für den Winkel.
Ich bezweifel allerdings, dass man die Fallunterscheidung vermeidet, wenn man einfach den Betrag weglässt, da Fälle denkbar sind, in denen es keine, eine oder zwei Lösungen geben kann.
Naja, genug getan:
$
% Input 1/2 =====
\newcommand\fxshow{%
\alpha
+\arccos\left( \dfrac{m_b}{m_a} \cos(\alpha) \right)
+\arccos\left( \dfrac{m_c}{m_a} \cos(\alpha) \right)
}
\pgfmathsetlengthmacro\mywidth{8.9cm}
\tikzset{
trig format=rad,
declare function={
ma=7;
mb=-2;
mc=5;
xStart=1;
Steps=5;
f(\x)=\x+acos(mb/ma*cos(\x))+acos(mc/ma*cos(\x))-pi;
% f(x)=x+acos(-2/7*cos(x))+acos(5/7*cos(\x))-pi
% Calc
dx=0.1; df(\x)=( f(\x+dx) - f(\x) )/dx;
xNew(\x)=\x-f(\x)/df(\x);
},}
\def\var{\alpha}
\pgfplotsset{
%xmin=-0.1, xmax=3,
domain=-pi:pi,
xtick={-3,...,3},
%ymin=-0.5, ymax=3.7,
%xtick={-1,-0.6,...,1},
%minor ytick={-0.5,0,...,3.5},
%legend pos=outer north east,
}
% Parameters
\pgfmathsetmacro\ma{ma}
\pgfmathsetmacro\mb{int(mb)}
\pgfmathsetmacro\mc{mc}
% Start row
\pgfmathsetmacro\xStart{xStart}
\pgfmathsetmacro\fxnStart{f(xStart)}
\pgfmathsetmacro\dfxnStart{df(xStart)}
\pgfmathsetmacro\xNewStart{xNew(xStart)}
\pgfplotstableread[header=false, col sep=comma,
]{
0, \xStart, \fxnStart, \dfxnStart, \xNewStart
}\newtontable
% Further rows
\pgfmathsetmacro\Steps{Steps}
\pgfplotsforeachungrouped \n in {1,...,\Steps} {%%
\ifnum\n=1 \pgfplotstablegetelem{0}{[index]4}\of\newtontable \else
\pgfplotstablegetelem{0}{[index]4}\of\nextrow \fi
\pgfmathsetmacro\xOld{\pgfplotsretval}
%
\pgfmathsetmacro\fxn{f(\xOld)}
\pgfmathsetmacro\dfxn{df(\xOld)}
\pgfmathsetmacro\xNew{xNew(\xOld)}
%
\edef\createnextrow{
\noexpand\pgfplotstableread[
col sep=comma, row sep=crcr,
]{
\n, \xOld, \fxn, \dfxn, \xNew \noexpand\\
}\noexpand\nextrow
}\createnextrow
%
% Concatenate in loop
\pgfplotstablevertcat{\temprow}{\nextrow}
}%%
% Concatenate with startrow
\pgfplotstablevertcat{\newtontable}{\temprow}
% Output =============================
\pgfmathsetmacro\dx{dx}
\newsavebox{\ExampleText}
\savebox\ExampleText{% ======================
\begin{minipage}{\mywidth}
% Title =======
$m_a=\ma \text{cm},~ m_b=\mb \text{cm},~ m_c=\mc \text{cm}$ \\[1em]
$\begin{cases}
(1) & m_a=R \cos(\alpha) \\
(2) & m_b=R \cos(\beta) \\
(3) & m_c=R \cos(\gamma) \\
(4) & \alpha+\beta+\gamma=180^\circ
\end{cases}$ \\[1em]
$(4) \Rightarrow \fxshow =\pi$ \\[1em]
$f(\var) = \fxshow -\pi \\[1em]
f'(\var)\approx \dfrac{f(\var+\Delta \var)-f(\var)}{\Delta \var},~~ \Delta \var=\dx \\
\var_0=\xStart,~~ \var_{n+1}=\var_n-\dfrac{f(\var_n)}{f'(\var_n)} $ \\[0.5em]
%Table =======
\pgfplotstabletypeset[column type=r,
% Show integers as intgers and general number format:
every column/.style={postproc cell content/.style={
@cell content=\pgfmathifisint{##1}
{\pgfmathprintnumber[precision=0]{##1}}
{\pgfmathprintnumber[fixed, fixed zerofill, precision=5]{##1}}
}},
%font=\footnotesize,
display columns/0/.style={column name=$n$},
display columns/1/.style={column name=$\var_n$},
display columns/2/.style={column name=$f(\var_n)$},
display columns/3/.style={column name=$f'(\var_n)$},
display columns/4/.style={column name=$\var_{n+1}$},
every head row/.style={after row=\hline, before row=\hline},
every last row/.style={after row=\hline},
]{\newtontable} \\[0.5em]
%
\xdef\xRes{\xNew}
\pgfmathparse{180*\xRes/pi}
\xdef\xResGrad{\pgfmathresult}
\pgfmathparse{f(\xRes)}
\xdef\yRes{\pgfmathresult}
{$\Rightarrow~ \boldsymbol{%\ol{x} =
\var \approx\xNew \,\mathrm{rad} \approx \xResGrad^\circ}$}
\end{minipage}}%========================
%\usebox{\ExampleText}
\begin{tikzpicture}[
font=\footnotesize,
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
]
% Curve =============================
\begin{axis}[local bounding box=Curve,
%width=\mywidth,
title={\usebox{\ExampleText}},
title style={align=left, anchor=south west,
draw=none, text width=\mywidth,
at={(rel axis cs:0,1)}, name=Example,
},
trig format=rad,
axis lines = center,
xlabel=$\var$,
ylabel=$f(\var)$,
axis line style = {-latex},
xlabel style={anchor=north},
ylabel style={anchor=north west, inner sep=3pt},
legend style={at={(0.0,-0.05)},anchor=north west},
legend cell align=left,
enlarge y limits={upper, rel=0.2},
enlarge x limits,
clip=false,
]
% Curve
\addplot[thick, blue]{f(x)};
%\addlegendentry{$f(x)=\fxshow$}
%% Tangents
%\foreach \row in {0,...,\Steps}{%%
%\pgfplotstablegetelem{\row}{0}\of\newtontable
%\xdef\Index{\pgfplotsretval}
%\pgfplotstablegetelem{\row}{1}\of\newtontable
%\xdef\xS{\pgfplotsretval}
%\pgfplotstablegetelem{\row}{2}\of\newtontable
%\xdef\yS{\pgfplotsretval}
%\pgfmathsetmacro\ySshow{\yS<0 ? \yS : "+\yS"}
%\pgfplotstablegetelem{\row}{3}\of\newtontable
%\xdef\dyS{\pgfplotsretval}
%%
%\pgfmathsetmacro\vR{0.4+1/\dyS}
%\pgfmathsetmacro\vL{1.1+1/\dyS}
%\pgfmathsetmacro\Pos{\row==3 || \row==999 ? -0.05 : 1.05}
%
%\edef\nextplot{
%\noexpand\addplot[red, domain=\xS-\vL:\xS+\vR, forget plot]{\dyS*(x-\xS)+\yS} node[pos=\Pos]{$t_\Index$};
%\noexpand\addplot[red, mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white, draw=black}] coordinates{(\xS,\yS) };
%\noexpand\addlegendentry[]{$t_\Index(x)=\dyS\cdot (\xS-x) \ySshow$}
%\noexpand\addplot[densely dashed, forget plot] coordinates{(\xS,\yS) (\xS,0)} node[below]{$x_\Index$};
%}\nextplot
%}%
% Zero of Curve
\addplot[mark=*, mark size=1.75pt, forget plot] coordinates{(\xRes,\yRes)};
\end{axis}
% Annotations
\tikzset{trig format=deg}
\pgfmathsetmacro\alphaRes{\xResGrad}
\pgfmathsetmacro\R{\ma/cos(\alphaRes)}
\pgfmathsetmacro\betaRes{acos(\mb/\R)}
\pgfmathsetmacro\gammaRes{180-\alphaRes-\betaRes}
\pgfmathsetmacro\a{2*\R*sin(\alphaRes)}
\pgfmathsetmacro\b{2*\R*sin(\betaRes)}
\pgfmathsetmacro\c{2*\R*sin(\gammaRes)}
\node[anchor=north west, align=left, xshift=2em, fill=lightgray, text width=\mywidth-5mm](Anno) at (Curve.south west){
$\begin{array}{l @{\hspace{1.25cm}}l}
m_a=\ma \text{cm},~ m_b=\mb \text{cm},~
m_c=\mc \text{cm} \\ \hline \\
\alpha &=\xResGrad^\circ \\ \hline \\
R = \dfrac{m_a}{\cos(\alpha)} &=\R\text{ cm} \\
\beta = \arccos\left( \dfrac{m_b}{R} \right) &= \betaRes^\circ \\
\gamma = 180^\circ-\alpha-\beta &=\gammaRes^\circ \\ \hline \\
a = 2R\sin(\alpha) &=\a \text{ cm} \\
b = 2R\sin(\beta) &=\b \text{ cm} \\
c = 2R\sin(\gamma) &=\c \text{ cm} \\
\end{array}$};
\begin{scope}[shift={($(Anno.south west)+(0.2*\R,-0.9*\R)$)}, scale=0.5]
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\alphaRes:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
% Umkreis
\draw[red,->] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=-90:$M_c$] (Mc) -- +(90:\mc) coordinate[label=110:$U$](U) node[near start, right] {$m_c$};
\draw[densely dashed] (U) -- (A) node[midway, above] {$R$};;
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =U--Mc--A};
\draw[red, ->] ($(B)!0.5!(C)$) coordinate[label=-135:$M_a$] (Ma) -- +(\alphaRes+\gammaRes+90:\ma) node[near start, above]{$m_a$};
\draw[densely dashed] (U) -- (B) node[near end, above] {$R$};;
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =C--Ma--U};
\draw[red, ->] ($(A)!0.5!(C)$) coordinate[label=-45:$M_b$] (Mb) -- +(\alphaRes+90:-\mb) node[midway, right]{$m_b$};
\draw[densely dashed] (U) -- (C) node[midway, above] {$R$};;
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =U--Mb--A};
%% Punkte
\foreach \P in {U, Ma, Mb, Mc}
\draw[fill=black!1, draw=red] (\P) circle (3pt);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
$
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Caban
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| Beitrag No.26, eingetragen 2020-11-09
|
Hallo wario
Hier der Versuch des Nachweises, dass es keine Rolle spielt ob stumpfwinklig oder nicht.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50476_bildbild.png
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.27, eingetragen 2020-11-10
|
Hier noch das Newtonverfahren für den Umkreisradius.
Zu beachten ist, dass der Arkuskosinus Argumente zwischen $-1$ und $1$ braucht. Also kann $R_0=|m_a|+|m_b|+|m_c|$ als Startwert gewählt werden.
$
% Input 1/2
\pgfmathsetlengthmacro\mywidth{8.9cm}
\tikzset{
trig format=rad,
declare function={
ma=7;
mb=int(-2);
mc=5;
mmax=max(ma,mb,mc);
xStart=abs(ma)+abs(mb)+abs(mc);
Steps=6;
Acos(\x)=(abs(\x)>1 ? inf : acos(max(-1,min(1,\x))));
f(\x)=Acos(ma/\x)+Acos(mb/\x)+Acos(mc/\x)-pi;
% Calc
dx=0.1;
df(\x)=( f(\x+dx) - f(\x) )/dx;
%diff(\x,\a)=\a/(\x*\x *sqrt(5 -\a*\a/(\x*\x)));
%df(\x)=diff(\x,ma)+diff(\x,mc)+diff(\x,mc);
xNew(\x)=\x-f(\x)/(0.2+df(\x));
},}
\pgfplotsset{
%xmin=-0.1, xmax=3,
xmin=0,
%domain=1:5,
xtick={-30,-25,...,30},
ytick={-5,-4,...,5},
yticklabel style = {font=\footnotesize, xshift=0.5ex},
xticklabel style = {font=\footnotesize, yshift=0.5ex},
%ymin=-0.5, ymax=3.7,
%xtick={-1,-0.6,...,1},
%minor ytick={-0.5,0,...,3.5},
%legend pos=outer north east,
}
% Parameters
\pgfmathsetmacro\ma{ma}
\pgfmathsetmacro\mb{int(mb)}
\pgfmathsetmacro\mc{mc}
% Input 2/2 =====
\def\var{R}
\newcommand\fxshow{%
\arccos\left( \dfrac{m_a}{R} \right)
+\arccos\left( \dfrac{m_b}{R} \right)
+\arccos\left( \dfrac{m_c}{R} \right)
}
\newcommand\fxShow{%
\arccos\left( \dfrac{\ma}{R} \right)
+\arccos\left( \dfrac{\mb}{R} \right)
+\arccos\left( \dfrac{\mc}{R} \right)
}
\newcommand\diff[1]{%
\dfrac{#1}{\var^2\sqrt{1-\dfrac{{#1}^2}{\var^2}}}
}
% Newton ==========================
% Start row
\pgfmathsetmacro\xStart{xStart}
\pgfmathsetmacro\fxnStart{f(xStart)}
\pgfmathsetmacro\dfxnStart{df(xStart)}
\pgfmathsetmacro\xNewStart{xNew(xStart)}
\pgfplotstableread[header=false, col sep=comma,
]{
0, \xStart, \fxnStart, \dfxnStart, \xNewStart
}\newtontable
% Further rows
\pgfmathsetmacro\Steps{Steps}
\pgfplotsforeachungrouped \n in {1,...,\Steps} {%%
\ifnum\n=1 \pgfplotstablegetelem{0}{[index]4}\of\newtontable \else
\pgfplotstablegetelem{0}{[index]4}\of\nextrow \fi
\pgfmathsetmacro\xOld{\pgfplotsretval}
%
\pgfmathsetmacro\fxn{f(\xOld)}
\pgfmathsetmacro\dfxn{df(\xOld)}
\pgfmathsetmacro\xNew{xNew(\xOld)}
%
\edef\createnextrow{
\noexpand\pgfplotstableread[
col sep=comma, row sep=crcr,
]{
\n, \xOld, \fxn, \dfxn, \xNew \noexpand\\
}\noexpand\nextrow
}\createnextrow
%
% Concatenate in loop
\pgfplotstablevertcat{\temprow}{\nextrow}
}%%
% Concatenate with startrow
\pgfplotstablevertcat{\newtontable}{\temprow}
% Output =============================
\pgfmathsetmacro\dx{dx}
\newsavebox{\ExampleText}
\savebox\ExampleText{% ======================
\begin{minipage}{\mywidth}
% Title =======
$m_a=\ma \text{cm},~ m_b=\mb \text{cm},~ m_c=\mc \text{cm}$ \\[1em]
$\begin{cases}
(1) & m_a=R \cos(\alpha) \\
(2) & m_b=R \cos(\beta) \\
(3) & m_c=R \cos(\gamma) \\
(4) & \alpha+\beta+\gamma=180^\circ
\end{cases}$ \\[1em]
$(4) \Rightarrow \fxshow =\pi$ \\[1em]
$f(\var) = \fxshow -\pi \\[1em]
f'(\var)= \diff{m_a}+\diff{m_b}+\diff{m_c} \\[1em]
%f'(\var)\approx \dfrac{f(\var+\Delta \var)-f(\var)}{\Delta \var},~~ \Delta \var=\dx \\
\var_0=\xStart =|m_a|+|m_b|+|m_c|, \\[0.75em]
\var_{n+1}=\var_n-\dfrac{f(\var_n)}{f'(\var_n)} $ \\[0.5em]
%Table =======
\pgfplotstabletypeset[column type=r,
% Show integers as intgers and general number format:
every column/.style={postproc cell content/.style={
@cell content=\pgfmathifisint{##1}
{\pgfmathprintnumber[precision=0]{##1}}
{\pgfmathprintnumber[fixed, fixed zerofill, precision=5]{##1}}
}},
%font=\footnotesize,
display columns/0/.style={column name=$n$},
display columns/1/.style={column name=$\var_n$},
display columns/2/.style={column name=$f(\var_n)$},
display columns/3/.style={column name=$f'(\var_n)$},
display columns/4/.style={column name=$\var_{n+1}$},
every head row/.style={after row=\hline, before row=\hline},
every last row/.style={after row=\hline},
]{\newtontable} \\[0.5em]
%
\xdef\xRes{\xNew}
\pgfmathparse{f(\xRes)}
\xdef\yRes{\pgfmathresult}
{$\Rightarrow~ \boldsymbol{%\ol{x} =
\var \approx\xNew}$}
\end{minipage}}%========================
%\usebox{\ExampleText}
\begin{tikzpicture}[
font=\footnotesize,
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]},
]
% Curve =============================
\begin{axis}[local bounding box=Curve,
%width=\mywidth,
title={\usebox{\ExampleText}},
title style={align=left, anchor=south west,
draw=none, text width=\mywidth,
at={(rel axis cs:0,1)}, name=Example,
},
trig format=rad,
axis lines = center,
xlabel=$\var$,
ylabel=$f(\var)$,
axis line style = {-latex},
xlabel style={anchor=north},
ylabel style={anchor=north west, inner sep=3pt},
legend style={at={(0.0,-0.05)},anchor=north west},
legend cell align=left,
enlarge y limits={upper, rel=0.2},
%enlarge x limits={upper, rel=0.333},
clip=false,
unbounded coords=jump,
xmin=-34, xmax=34,
samples=444,
title style={font=\footnotesize, },
legend style={align=left},
]
% Curve
\addplot[thick, blue, domain=-33:33,
]{f(x)};
%\addplot[thick, blue, domain=-mmax:-20, forget plot]{f(x)};
\addlegendentry{$f(\var)=\fxShow -\pi$ \\[0.125em] {}}
% Tangents
\foreach \row in {0,1,3}{%%
\pgfplotstablegetelem{\row}{0}\of\newtontable
\xdef\Index{\pgfplotsretval}
\pgfplotstablegetelem{\row}{1}\of\newtontable
\xdef\xS{\pgfplotsretval}
\pgfplotstablegetelem{\row}{2}\of\newtontable
\xdef\yS{\pgfplotsretval}
\pgfmathsetmacro\ySshow{\yS<0 ? \yS : "+\yS"}
\pgfplotstablegetelem{\row}{3}\of\newtontable
\xdef\dyS{\pgfplotsretval}
%
\pgfmathsetmacro\vR{0.1+1/\dyS}
\pgfmathsetmacro\vL{1.1+1/\dyS}
\pgfmathsetmacro\Pos{\row==3 || \row==999 ? -0.05 : 1.05}
\edef\nextplot{
\noexpand\addplot[red, domain=\xS-\vL:\xS+\vR, forget plot, samples=2]{\dyS*(x-\xS)+\yS} node[pos=\Pos]{$t_\Index$};
\noexpand\addplot[red, mark=*, mark size=1.5pt, mark options={fill=white, draw=black}] coordinates{(\xS,\yS) };
\noexpand\addlegendentry[]{$t_\Index(x)=\dyS\cdot (\xS-x) \ySshow$}
\noexpand\addplot[densely dashed, forget plot] coordinates{(\xS,\yS) (\xS,0)} node[below]{}; %{$x_\Index$};
}\nextplot
}%
% Zero of Curve
\addplot[mark=*, mark size=1.5pt, forget plot] coordinates{(\xRes,\yRes)};
\end{axis}
% Annotations
\tikzset{trig format=deg}
\pgfmathsetmacro\R{\xRes}
\pgfmathsetmacro\alphaRes{acos(\ma/\R)}
\pgfmathsetmacro\betaRes{acos(\mb/\R)}
\pgfmathsetmacro\gammaRes{180-\alphaRes-\betaRes}
\pgfmathsetmacro\a{2*\R*sin(\alphaRes)}
\pgfmathsetmacro\b{2*\R*sin(\betaRes)}
\pgfmathsetmacro\c{2*\R*sin(\gammaRes)}
\node[anchor=north west, align=left, xshift=0em, fill=lightgray, text width=\mywidth-5mm](Anno) at (Curve.south west){
$\begin{array}{l @{\hspace{1.0cm}}l}
m_a=\ma \text{ cm},~ m_b=\mb \text{ cm},~
m_c=\mc \text{ cm} \\ \hline \\
R &=\xRes \text{ cm} \\ \hline \\
\alpha =\arccos\left( \dfrac{m_a}{R} \right) & =\alphaRes^\circ \\[1em]
\beta = \arccos\left( \dfrac{m_b}{R} \right) &= \betaRes^\circ \\[1em]
\gamma = 180^\circ-\alpha-\beta &=\gammaRes^\circ \\ \hline \\
a = 2R\sin(\alpha) &=\a \text{ cm} \\
b = 2R\sin(\beta) &=\b \text{ cm} \\
c = 2R\sin(\gamma) &=\c \text{ cm} \\
\end{array}$};
\begin{scope}[shift={($(Anno.south west)+(0.2*\R,-0.9*\R)$)}, scale=0.5]
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\alphaRes:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
% Umkreis
\draw[red,->] ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=-90:$M_c$] (Mc) -- +(90:\mc) coordinate[label=110:$U$](U) node[near start, right] {$m_c$};
\draw[densely dashed] (U) -- (A) node[midway, above] {$R$};;
\draw[] (U) circle[radius=\R];
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =U--Mc--A};
\draw[red, ->] ($(B)!0.5!(C)$) coordinate[label=-135:$M_a$] (Ma) -- +(\alphaRes+\gammaRes+90:\ma) node[near start, above]{$m_a$};
\draw[densely dashed] (U) -- (B) node[near end, above] {$R$};;
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =C--Ma--U};
\draw[red, ->] ($(A)!0.5!(C)$) coordinate[label=-45:$M_b$] (Mb) -- +(\alphaRes+90:-\mb) node[midway, right]{$m_b$};
\draw[densely dashed] (U) -- (C) node[midway, above] {$R$};;
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$", red
] {angle =U--Mb--A};
\draw[->](U) -- +(55:\R) node[midway, right]{$R$};
%% Punkte
\foreach \P in {U, Ma, Mb, Mc}
\draw[fill=black!1, draw=red] (\P) circle (3pt);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
$
___________________________________
Edit: Beispieltangenten an Kurve eingezeichnet.
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werner
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| Beitrag No.28, eingetragen 2020-11-11
|
das Ergebnis von Wario kann ich bestätigen mit
r^3-r*(m_a^2+m_b^2+m_c^2)-2*m_a*m_b*m_c=0
(was immer mb= -2 auch bedeuten mag)
|
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Caban
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.29, eingetragen 2020-11-11
|
Hallo werner
Das negative Vorzeichen soll anzeigen, dass beta größer 90° ist.
Gruß Caban
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haegar90
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 18.03.2019
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 | Beitrag No.30, eingetragen 2020-11-11
|
\quoteon(2020-11-08 10:55 - ebikerni im Themenstart)
Hallo,
in einem mathematischen Dreieck sind die 3 Seiten-Mitte-Senkrechten
msa=7 msb=-2 msc=5 gegeben und es müssen 19 Elemente des Dreiecks berechnet werden.
Wie lauten das/die erste/n Ergebnis/se (v. Seite, Winkel, Radius o.),
um die Bestimmung mit der Programmierung in Python 3.6 mit 15 Stellen
nach dem Komma weiter zu programmieren .
Gruß ebikerni
\quoteoff
Ein Ansatz in Python mit den hier im Thread gewonnenen Formeln:
\sourceon Python
import scipy.optimize as se
from math import *
def wr(x, halfs):
ma, mb, mc = halfs
alpha, beta, gamma, r = x
return ma - r * cos(alpha), mb - r * cos(beta), alpha + beta + gamma - pi, \
r ** 3 - r * (ma ** 2 + mb ** 2 + mc ** 2) - 2 * ma * mb * mc
def find(ma, mb, mc):
xs = [pi/3, pi/3, pi/3, 5]
return se.root(wr, xs, args=[ma, mb, mc]).x
erg = find(7, -2, 5)
for i in range(0, 3):
print(erg[i] / pi * 180)
print('R = ', erg[3])
# 25.263801856571206
# 104.97433773672664
# 49.76186040670216
# R = 7.740345775464367
\sourceoff
Die Ergebnisse stimmen nur annähernd mit den o.g. überein.
Da die Abweichung schon nach der 3. Stelle beginnt, hängt es vermutlich vom Verfahren / der Anzahl der Iterationen ab.
Da Du ja eine Genauigkeit von 15 Stellen forderst, hoffe ich dass es so passt.
$\alpha \approx25.263801856571206 $
$\beta \approx 104.97433773672664 $
$\gamma \approx 49.76186040670216 $
$ R \approx 7.740345775464367$
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.29 begonnen.]
|
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2800
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.31, eingetragen 2020-11-11
|
Hallo heagar
Mithilfe von Beitrag 28 müsste man die Lösung sogar exakt erhalten können.
Gruß Caban
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Wario
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Mitteilungen: 1111
| Beitrag No.32, eingetragen 2020-11-11
|
Was die Fallunterscheidungen angeht kann man folgendermaßen vorgehen:
Das Gleichungssystem ist eigentlich:
\quoteon(2020-11-08 17:55 - Wario in Beitrag No. 6)
$(1)~~ m_a=R|\cos(\alpha)|$
$(2)~~ m_b=R|\cos(\beta)|$
$(3)~~ m_c=R|\cos(\gamma)|$
$(4)~~ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
\quoteoff
also mit Betrag.
Z.B. aus (1) wird $\dfrac{m_a}{R} = |\cos(\alpha)| = \sqrt{\cos^2(\alpha)}$
$\Rightarrow \cos^2(\alpha)= \dfrac{m_a^2}{R^2}$ $
\Rightarrow \cos(\alpha)= \pm \dfrac{|m_a|}{R}$
bzw. $\alpha =\arccos\left( \pm \dfrac{|m_a|}{R} \right)$.
Da $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$ wird
$\alpha=\arccos\left( \dfrac{|m_a|}{R} \right)$ oder $
\alpha=\pi-\arccos\left( \dfrac{|m_a|}{R} \right)$
Sei $A_x = \arccos\left( \dfrac{|m_x|}{R} \right)$, dann hat man für Gleichung (4) demnach die Fälle
$\begin{array}{l l}
\pi-0\pi = A_a + A_b + A_c & \rightarrow R = 9.6024 \\[1em]
\pi-1\pi = -A_a + A_b + A_c & \rightarrow \text{keine Lösung} \\
\pi-1\pi = A_a - A_b + A_c & \rightarrow R = 7.7403 \\
\pi-1\pi = A_a + A_b - A_c & \rightarrow R = 1.8801 \\[1em]
\pi-2\pi = -A_a - A_b + A_c & \rightarrow R = -1.8801 \\
\pi-2\pi = A_a - A_b - A_c & \rightarrow \text{keine Lösung} \\
\pi-2\pi = -A_a + A_b - A_c & \rightarrow R = -7.7403 \\[1em]
\pi-3\pi = -A_a - A_b - A_c & \rightarrow R = -9.6204
\end{array}$
zu untersuchen.
· Keine bzw. negative Lösungen scheiden aus.
· Die Lösung $R = 1.8801$ scheidet aus, da $R \geq \max(|m_a|, |m_b|, |m_c|)$ sein muss.
· Zur Lösung $R = 7.7403$ vergleiche Beitrag 27 oder 25.
· Die Lösung $R = 9.6024$ scheidet vermutlich auch aus, dazu braucht es aber noch eine Bedingung... (?)
Da das aber alles sehr aufwendig ist, ist es sinnvoller eine kubische Gleichung für $R$ aufzustellen und diese zu lösen.
Also:
\quoteon(2020-11-11 09:06 - werner in Beitrag No. 28)
das Ergebnis von Wario kann ich bestätigen mit
r^3-r*(m_a^2+m_b^2+m_c^2)-2*m_a*m_b*m_c=0
(was immer mb= -2 auch bedeuten mag)
\quoteoff
-----> Herleitung?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]
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haegar90
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| Beitrag No.33, eingetragen 2020-11-11
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\quoteon(2020-11-11 10:58 - haegar90 in [Die Antwort wurde vor Beitrag No.29 begonnen.]
\quoteoff
Hiermit verglichen ist die Python Rechnung nicht auf 15 Stellen genau, das passt doch noch nicht, mal sehen wie das zu lösen ist.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51352_wh.gif
EDIT: Nach 2 Durchläufen mit R aus Durchlauf 1 passt es.
$\alpha \approx 25.263801851696126 $
$\beta \approx 104.97433773853366 $
$\gamma \approx 49.761860409770215 $
$ R \approx 7.740345775222111$
Wahrscheinlich wird man auch eine höhere Zahl an Iterationen vorgeben können. Lese mal nach.
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Caban
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| Beitrag No.34, eingetragen 2020-11-11
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hallo Wario
Hier eine Herleitung für die Gleichung von werner
Bei einem Dreick mit \alpha, \beta und \gamma gilt:
glaube ich
1-((cos^2(\alpha)+cos^2(\beta)+cos^2(\gamma))=2*cos(\alpha)*cos(\beta)*cos(\gamma)
Wenn man das mit r^3 erweitert ergibt sich die Gleichung von werner.
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.35, eingetragen 2020-11-11
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\quoteon(2020-11-11 12:01 - Wario in Beitrag No. 32)
Da das aber alles sehr aufwendig ist, ist es sinnvoller eine kubische Gleichung für $R$ aufzustellen und diese zu lösen.
\quoteoff
Man kann es so machen:
Es ist $
\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)
= 1-2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)$ (siehe z.B. hier).
Nach Beitrag 4 ist
(0) $
|\cos(\alpha)| = \dfrac{m_a}{R}, ~~
|\cos(\beta)| = \dfrac{m_b}{R}, ~~
|\cos(\gamma)| = \dfrac{m_c}{R}$
Da $|\cos(x)|^2 =\cos^2(x)$ kann man damit die linke Seite der trigonometrischen Beziehung direkt ersetzen.
Für die rechte Seite sind nach dem Gesagten
\quoteon(2020-11-09 12:53 - Wario in Beitrag No. 20)
zwei Fälle möglich:
(1) Im spitzwinkligen oder rechtwinkligen Dreieck kann der Betrag entfallen.
(2) Im stumpfwinkligen Dreieck braucht man den Betrag genau einmal, wobei man hier z.B. $|\cos(\gamma)|=-\cos(\gamma)$ setzen kann, sofern $\gamma$ der stumpfe Winkel ist.
\quoteoff
Damit kann auf der rechten Seite ein (und nur ein) Minus auftreten.
Z.B. $
\dfrac{m_c}{R} = |\cos(\gamma)| = -\cos(\gamma)
~\Leftrightarrow~ \cos(\gamma) = -\dfrac{m_c}{R}
$, falls $\gamma$ ein stumpfer Winkel ist.
Es wird aus
$\begin{array}{l l}
|\cos(\alpha)|^2+|\cos(\beta)|^2+|\cos(\gamma)|^2
&= \cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma) \\
&= 1-2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)
\end{array}$
· mit (0) und (1):
$\left( \dfrac{m_a}{R} \right)^2
+ \left( \dfrac{m_b}{R} \right)^2
+ \left( \dfrac{m_c}{R} \right)^2
=
1-2\left( \dfrac{m_a}{R} \right)
\left( \dfrac{m_b}{R} \right)
\left( \dfrac{m_c}{R} \right)$
$\Leftrightarrow~
R (m_a^2 +m_b^2 +m_c^2) = R^3 -2 m_a m_b m_c$
· mit (0) und (2):
$\left( \dfrac{m_a}{R} \right)^2
+ \left( \dfrac{m_b}{R} \right)^2
+ \left( \dfrac{m_c}{R} \right)^2
=
1-2\left[- \left( \dfrac{m_a}{R} \right)
\left( \dfrac{m_b}{R} \right)
\left( \dfrac{m_c}{R} \right)\right]$
$\Leftrightarrow~
R (m_a^2 +m_b^2 +m_c^2) = R^3 + 2 m_a m_b m_c$
Daher muss man m.E. die zwei kubischen Gleichungen
(3) $R^3 -(m_a^2 +m_b^2 +m_c^2)R -2 m_a m_b m_c =0$
und
(4) $R^3 -(m_a^2 +m_b^2 +m_c^2)R +2 m_a m_b m_c =0$
lösen.
Für $m_a=5,~~ m_b=-2,~~ m_c=7$ bekomme ich:
(3) $\Rightarrow
R\approx -9.6204,~ ~
R\approx 1.8801,~~
R\approx 7.7403$
und
(4) $\Rightarrow
R\approx -9.6204,~~
R\approx -1.8801,~~
R\approx 7.7403$
Die negativen Lösungen kann man ausschließen.
Die Lösung $R\approx 1.8801$ kann man ausschließen, da $
R \geq \max(|m_a|, |m_b|, |m_c|)
$ sein muss (vgl. Abbildung Beitrag 27).
Also ist $R\approx 7.7403$ hier die einzige Lösung.
PS: Man kann nicht einfach den Betrag weglassen, nur weil er bei der Rechnung stört.
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Caban
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| Beitrag No.36, eingetragen 2020-11-11
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Hallo
Wenn man Mittelsenkrechte von Seiten, die stumpfen Winkeln gegenüber liegen als negativ angibt, muss man keine Beträge nutzen, wenn man meine Formel benutzt. Davon bin ich weiterhin überzeugt. Wenn jedoch alle Mittlesenkrechte als positiv angibt, muss man vier Fälle prüfen.
Gruß Caban
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Caban
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| Beitrag No.37, eingetragen 2020-11-12
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Hallo
Wenn der Themenstarter alle Werte positiv angegeben hätte, wie es eigentlich üblich ist, debb negative Längen gibt es eigentlich nicht, würde es noch eine andere Lösung geben:
a=13.2 cm
b=18.8 cm
c=16.4 cm
\alpha=43,3°
\beta=78°
\gamma=58.7°
Gruß Caban
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haegar90
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| Beitrag No.38, eingetragen 2020-11-12
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\quoteon(2020-11-12 10:46 - Caban in Beitrag No. 37)
Hallo
Wenn der Themenstarter alle Werte positiv angegeben hätte, wie es eigentlich üblich ist, debb negative Längen gibt es eigentlich nicht, würde es noch eine andere Lösung geben:
a=13.2 cm
b=18.8 cm
c=16.4 cm
\alpha=43,3°
\beta=78°
\gamma=58.7°
Gruß Caban
\quoteoff
Hallo Caban,
aber dann doch auch nur die einzige Lösung wiederum für $(7, 2, 5)$
oder wie ist das zu verstehen ?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51352_mit7_2_5.gif
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Caban
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| Beitrag No.39, eingetragen 2020-11-12
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Hallo
Ja, die einzige Lösung für 7,2,5.
Für abs(m_c)=5 cm , abs(m_b)=2 cm und abs(m_a)=7 cm gibt es 2 Lösungen.
Gruß Caban
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